Сходимость по Чезаро

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро[it][1]. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

ОпределениеПравить

Ряд   называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если:

 

где   определяются как коэффициенты разложения:

 
 

СвойстваПравить

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если   где   — частичные суммы ряда.

Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при   и не являются регулярными при  . Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k' при k' > k > −1.

При k <-1 это свойство не сохраняется.

Если ряд   является (C, k)-сходящимся, то  .

Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гёльдера (H, k) и Риса (R, n, k) (k >0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.

ПримерПравить

Пусть an = (-1)n+1 для n ≥ 1. То есть, {an} является последовательностью

 

Последовательность частичных сумм {sn} имеет вид:

 

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s1 + … + sn)/n} являются

 

и в общей сложности

 

Поэтому ряд   является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Сеsarо E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
  • Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
  • Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
  • Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
  • Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .