Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

ОпределениеПравить

Пусть дано вероятностное пространство   и определённые на нём случайные величины  . Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на  , называемую её распределением.

Случайные величины   сходятся по распределению к случайной величине  , если распределения   слабо сходятся к распределению  , то есть

 

для любой непрерывной ограниченной[1][2] функции  .

ЗамечанияПравить

  • Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:
 .
  • Предел по распределению не единственен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределениюПравить

  • Случайные величины   сходятся по распределению к  , если их функции распределения   сходятся к функции распределения предела   во всех точках непрерывности последней:
 .
  почти всюду,
то  . Обратное, вообще говоря, неверно!
 .
Обратное, вообще говоря, неверно.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить