Тангенциальнозначная форма

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

ОпределениеПравить

Тангенциальнозначной формой на многообразии   называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

 
 

ОперацииПравить

  • Внутреннее дифференицрование
  • Внешнее дифференцирование

Производная ЛиПравить

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля   по векторному полю   определяется стандартным образом:

 

где   — фазовый поток, соответствующий векторному полю  . Эта операция связана с внутренним умножением   дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

 

то есть

 

где   — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы   производная Ли определяется по аналогии:

 
Свойства
  •  

Скобка Фрёлихера-НейенхёйсаПравить

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса   двух тангенциальнозначных форм   и   определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма  , для которой

 

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру   как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как  .[1] Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры   можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры  , посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения   суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1)[2].

Скобка Нейенхёйса-РичардсонаПравить

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки)   двух тангенциальнозначных форм   и   определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма  , для которой

 

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм  ,  :

 

Связанные определенияПравить

Форма называется припаивающей, если она лежит в  .

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить