Открыть главное меню
Образование поверхности вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости[1].

Примеры тел вращенияПравить

  • Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
  • Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развёртки:

 .
  • Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки:

 .

Площадь полной поверхности конуса:

 .
  • Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его[2]

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём тел вращенияПравить

Вращение вокруг оси xПравить

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси   фигуры, ограниченной функцией   на интервале  , осью   и прямыми   и  , равен:

 

Вращение вокруг оси yПравить

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси   фигуры, ограниченной функцией   на интервале  , осью   и прямыми   и  , равен:

 

Альтернативные формулы вычисления  :

 

Теорема ГульдинаПравить

Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа, которые связывают площадь или объём с центром масс фигуры.

  • Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

  • Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

ЛитератураПравить

А. В. Погорелов. «Геометрия. 10-11 класс» § 21.Тела вращения. — 2011

ПримечанияПравить

  1. А. В. Погорелов. §21. Тела вращения // Геометрия. 10-11 класс. — 2011.
  2. Математика. Энциклопедия для детей том 11й ISBN 5-94623-072-7

СсылкиПравить