Тела вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости[1].

Образование поверхности вращения

Примеры тел вращенияПравить

  • Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
  • Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развёртки:

 .
  • Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки:

 .

Площадь полной поверхности конуса:

 .
  • Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его[2]

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём тел вращенияПравить

Вращение вокруг оси xПравить

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси   фигуры, ограниченной графиком функции   на интервале  , осью   и прямыми   и  , равен:

 

Вращение вокруг оси yПравить

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси   фигуры, ограниченной графиком функции   на интервале  , осью   и прямыми   и  , равен:

 

Теорема ГульдинаПравить

Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа, которые связывают площадь или объём с центром масс фигуры.

  • Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

  • Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

ЛитератураПравить

А. В. Погорелов. «Геометрия. 10-11 класс» § 21.Тела вращения. — 2011

ПримечанияПравить

  1. А. В. Погорелов. §21. Тела вращения // Геометрия. 10-11 класс. — 2011.
  2. Математика. Энциклопедия для детей том 11й ISBN 5-94623-072-7

СсылкиПравить