Телеграфные уравнения

Телегра́фные уравне́ния — пара линейных дифференциальных уравнений, описывающих распределение напряжения и тока по времени и расстоянию в линиях электрической связи. Уравнения были составлены Оливером Хевисайдом, разработавшим в 1880-х годах модель линии электрической связи.

Теория Хевисайда применима к линиям передачи электрического тока всех частот, включая телеграфные, телефонные и более высокочастотные линии, а также силовые линии электропередачи и линии передачи постоянного тока.

Распределённые параметрыПравить

 
Схематическое изображение элементарных компонентов линии электрической связи

Телеграфные уравнения, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, могут быть сведены к частному случаю уравнений Максвелла. С практической точки зрения предполагается, что проводники состоят из бесконечной цепи четырёхполюсников, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий участок линии со следующими параметрами:

Параметры   и   показаны на рисунке отнесёнными к одному проводнику, но фактически представляют соответствующее суммарное значение, относящееся к обоим проводникам. Распределённые по бесконечной цепи четырёхполюсников параметры  ,  ,  ,   называются первичными параметрами линии. Также можно использовать обозначения  ,  ,  ,  , чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по координате.

УравненияПравить

Линия без потерьПравить

Когда элементы   и   малы, их значением можно пренебречь, линия электрической связи при этом считается идеальной. В этом случае модель зависит только от элементов   и  , мы получаем пару дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, одна функция описывает распределение напряжения   вдоль линии, а другая — распределение тока  , обе функции зависят от координаты   и времени  :

 
 

Телеграфные уравнения выведены в той же форме в следующих источниках: [1][2][3][4][5][6][7].

Эти уравнения можно совместить для получения двух отдельных волновых уравнений:

 
 

В гармоническом случае (считаем, что волна синусоидальная  , уравнения упрощаются до

 
 

где   — частота стационарной волны.

Если линия является бесконечно длинной или оканчивается характеристическим комплексным сопротивлением, уравнения показывают присутствие волны, распространяющейся со скоростью  .

Следует заметить, что такая скорость распространения применима к волновым явлениям и не учитывает дрейфовую скорость электрона. Другими словами, электрический импульс распространяется со скоростью, очень близкой к скорости света, несмотря на то, что сами электроны перемещаются со скоростью всего несколько сантиметров в секунду. Можно показать, что эта скорость в коаксиальной линии, сделанной из идеальных проводников, разделенных вакуумом, равна скорости света.

Линии без потерь и линии без искажений обсуждаются в [8] и [9].

Линия с потерямиПравить

Когда элементами   и   нельзя пренебречь, первоначальные дифференциальные уравнения, описывающие элементарный участок, принимают вид:

 
 

Дифференцируя первое уравнение по   и второе по  , после проведения некоторых алгебраических преобразований, мы получим пару гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых содержит по одной неизвестной:

 
 

Если потери линии малы (малые   и  ), сигнал будет затухать с увеличением расстояния как  , где  .

Вариации и обобщенияПравить

  • Заметим, что эти уравнения похожи на уравнение однородной волны с дополнительными условиями над   и   и их первыми производными. Дополнительные условия вызывают затухание и рассеяние сигнала в течение времени и с увеличением расстояния.

Направление распространения сигналаПравить

Волновые уравнения, описанные выше, учитывают, что распространение волны может быть прямым и обратным. Учитывая упрощение линии без потерь (полагая   и  ), решение может быть представлено в виде

 

где:

 
  называется волновым числом и измеряется в радианах на метр,
  — угловая частота (в радианах в секунду),
  и   могут быть любыми функциями, и
 скорость распространения волны (или фазовая скорость).

  представляет волну, идущую в положительном направлении оси   (слева направо),   представляет волну, идущую справа налево. Можно заметить, что мгновенное значение напряжения в любой точке   линии является суммой напряжений, вызванных обеими волнами.

Так как зависимость между током   и напряжением   описывается телеграфными уравнениями, можно записать:

 

где   — волновое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь можно найти как

 

Решение телеграфных уравненийПравить

Решение телеграфных уравнений есть, например, на с. 348 в примере 80 (плюс решение примера 79 на с. 347—348) в книге [10].

СсылкиПравить

  1. John D. Kraus. Electromagnetics (англ.). — Third. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1984. — P. 380—419. — ISBN 0070354235.
  2. Wiliam H. Hayt. Engineering Electromagnetics (англ.). — Fifth. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1989. — P. 382—392. — ISBN 0070274061.
  3. Stanley V. Marshall. Electromagnetic Concepts & Applications (англ.). — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — P. 359—378. — ISBN 0132490048.
  4. Matthew N. O. Sadiku. Elements of Electromagnetics (англ.). — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing (англ.), 1989. — P. 497—505. — ISBN 993013846.
  5. Rodger F. Harrington. Time-Harmonic Electromagnetic Fields (англ.). — First. — New York, NY: McGraw-Hill Education, 1961. — P. 61—65. — ISBN 0070267456.
  6. John J. Karakash. Transmission Lines and Filter Networks (англ.). — First. — New York, NY: Macmillan, 1950. — P. 5—14.
  7. Georges Metzger. Transmission Lines with Pulse Excitation (англ.). — First. — New York, NY: Academic Press, 1969. — P. 1—10.
  8. Matthew N. O. Sadiku. Elements of Electromagnetics (англ.). — First. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing (англ.), 1989. — P. 501—503. — ISBN 993013846.
  9. Stanley V. Marshall. Electromagnetic Concepts & Applications (англ.). — Second. — New York, NY: Prentice-Hall, 1987. — P. 369—372. — ISBN 0132490048.
  10. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, 13-е издание. М.: Наука, 1986.

См. такжеПравить