Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

Определение

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

$\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.$

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

$\mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\nabla _{\mu }A_{\nu }-\nabla _{\nu }A_{\mu }.$

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

$F=\mathbf {d} A.$

Отсюда также очевидна его инвариантность.

Свойства

• $F_{\mu \nu }$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:

$\ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv}},$

${\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.$

Выражение для компонент

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

$F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.$

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

$F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).$

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

$F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},$

что обозначается как

$F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).$

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

${\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_{x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{aligned}}$

Применение

Непосредственно из определения следует, что

$\mathbf {d} F=0.$

В компонентах это выражение принимает вид

$\varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0,$

где $\varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }$ — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0,$

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

$\nabla _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },$

где $j^{\mu }$ — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

$d*F={\frac {4\pi }{c}}J.$

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле

${\mathcal {F}}^{\nu }=qF^{\mu \nu }u_{\mu }.$

См. также

• Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.