Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле
F
μ
ν
=
∂
A
ν
∂
x
μ
−
∂
A
μ
∂
x
ν
.
{\displaystyle \mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.}
Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные , он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:
F
μ
ν
=
∂
A
ν
∂
x
μ
−
∂
A
μ
∂
x
ν
=
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
.
{\displaystyle \mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}
Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени , то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная
F
=
d
A
.
{\displaystyle F=\mathbf {d} A.}
Отсюда также очевидна его инвариантность.
F
μ
ν
{\displaystyle F_{\mu \nu }}
Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля[ 1]
F
μ
ν
F
μ
ν
=
2
(
B
2
−
E
2
)
=
inv
,
{\displaystyle \ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv}},}
1
2
ϵ
μ
ν
σ
ρ
F
μ
ν
F
σ
ρ
=
−
4
(
E
⋅
B
)
=
inv
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.}
Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид
F
μ
ν
=
(
0
E
x
E
y
E
z
−
E
x
0
−
B
z
B
y
−
E
y
B
z
0
−
B
x
−
E
z
−
B
y
B
x
0
)
.
{\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}
Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как
F
μ
ν
=
(
E
,
B
)
.
{\displaystyle F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).}
Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского ) имеют вид
F
μ
ν
=
∂
μ
A
ν
−
∂
ν
A
μ
{\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}
∂
i
=
−
∂
i
{\displaystyle \partial ^{i}=-\partial _{i}}
F
μ
ν
=
(
0
−
E
x
−
E
y
−
E
z
E
x
0
−
B
z
B
y
E
y
B
z
0
−
B
x
E
z
−
B
y
B
x
0
)
,
{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},}
что обозначается как
F
μ
ν
=
(
−
E
,
B
)
.
{\displaystyle F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).}
Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X , имеет вид
E
x
=
E
x
′
,
E
y
=
E
y
′
+
V
c
B
z
′
1
−
V
2
c
2
,
E
z
=
E
z
′
−
V
c
B
y
′
1
−
V
2
c
2
,
B
x
=
B
x
′
,
B
y
=
B
y
′
−
V
c
E
z
′
1
−
V
2
c
2
,
B
z
=
B
z
′
+
V
c
E
y
′
1
−
V
2
c
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_{x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{aligned}}}
Непосредственно из определения следует, что
d
F
=
0.
{\displaystyle \mathbf {d} F=0.}
В компонентах это выражение принимает вид
ε
μ
ρ
ν
σ
∂
F
μ
ρ
∂
x
ν
=
∂
F
μ
ρ
∂
x
ν
+
∂
F
ρ
ν
∂
x
μ
+
∂
F
ν
μ
∂
x
ρ
=
0
,
{\displaystyle \varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0,}
где
ε
μ
ρ
ν
σ
{\displaystyle \varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }}
символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла :
div
B
=
0
,
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =0,}
rot
E
=
−
1
c
∂
B
∂
t
.
{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}
Вторая пара уравнений Максвелла выражается (в Гауссовой СГС ) через тензор электромагнитного поля и 4-ток как
∂
ν
F
μ
ν
=
−
4
π
c
j
μ
,
{\displaystyle \partial _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },}
где
j
μ
{\displaystyle j^{\mu }}
Также можно записать их через звёздочку Ходжа :
d
∗
F
=
4
π
c
J
.
{\displaystyle d*F={\frac {4\pi }{c}}J.}
Сила Лоренца (и, соответственно, дифференциальное уравнение для движения заряда в четырёхмерной форме) выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд
e
{\displaystyle e}
F
μ
=
m
c
d
u
μ
d
s
=
e
c
F
μ
ν
u
ν
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mu }=mc{\dfrac {du^{\mu }}{ds}}={\dfrac {e}{c}}F^{\mu \nu }u_{\nu }.}
править
Пусть в заданной системе отсчёта используются координаты
x
0
=
c
t
,
x
1
=
x
,
x
2
=
y
,
x
3
=
z
{\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z}
d
x
0
,
d
x
1
=
d
x
,
d
x
2
=
d
y
,
d
x
3
=
d
z
{\displaystyle dx^{0},dx^{1}=dx,dx^{2}=dy,dx^{3}=dz}
Электрическое поле
E
=
E
x
d
x
+
E
y
d
y
+
E
z
d
z
=
d
φ
{\displaystyle \mathbf {E} =E_{x}dx+E_{y}dy+E_{z}dz=d\varphi }
Магнитное поле
B
=
B
x
d
y
∧
d
z
+
B
y
d
z
∧
d
x
+
B
z
d
x
∧
d
y
=
d
(
A
1
d
x
+
A
2
d
y
+
A
3
d
z
)
=
d
A
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{x}dy\wedge dz+B_{y}dz\wedge dx+B_{z}dx\wedge dy=d(A_{1}dx+A_{2}dy+A_{3}dz)=dA}
Электромагнитное поле
F
=
d
t
∧
E
+
B
=
d
t
∧
d
φ
+
d
A
=
d
(
A
−
φ
d
t
)
{\displaystyle F=dt\wedge \mathbf {E} +\mathbf {B} =dt\wedge d\varphi +dA=d(A-\varphi dt)}
Первое уравнение Максвелла
d
F
=
0
{\displaystyle dF=0}
Второе уравнение Максвелла
d
(
∗
F
)
=
4
π
c
J
{\displaystyle d(*F)={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} }
Первый инвариант э/м поля
∗
(
(
∗
F
)
∧
F
)
=
F
μ
ν
F
μ
ν
=
2
(
B
2
−
E
2
)
{\displaystyle *((*F)\wedge F)=F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})}
Второй инвариант э/м поля
∗
(
F
∧
F
)
=
1
2
ϵ
μ
ν
σ
ρ
F
μ
ν
F
σ
ρ
=
−
4
(
E
⋅
B
)
{\displaystyle *(F\wedge F)={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)}
