Открыть главное меню

Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.

ОпределениеПравить

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

 

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

 

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

 

Отсюда также очевидна его инвариантность.

СвойстваПравить

  •   — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
  • Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля[1]:
 
 

Выражение для компонентПравить

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

 

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

 

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

 

что обозначается как

 

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

 

ПрименениеПравить

Непосредственно из определения следует, что

 

В компонентах это выражение принимает вид

 

где   — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

 
 

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

 

где   — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

 

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Инварианты электромагнитного поля // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.

ЛитератураПравить