Теорема Асколи — Арцела

Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.

Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела).

Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.

ВведениеПравить

В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке  , а также о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций, также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства  . Существенным здесь является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы получим если возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство.

Полнота класса   позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная. Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить полиномами.

Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных функций  , где   — метрический компакт, а   — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку пространство   полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства   в  . Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о предкомпактности.

Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.

Существующий критерий предкомпактности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.

В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.

Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи(1883—1884)[1] и Чезаре Арцела (1882—1883)[2]. Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884[1], который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895[3], который привёл необходимое условие и дал первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906)[4] для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958)[5]. Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в Равномерное пространство (англ.) было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5)[6].

ОпределенияПравить

Рассмотрим пространство   непрерывных функций, заданных на отрезке  , вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:

  • Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

В случае пространства  , однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.

Положим, что   — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке  .

Равномерная ограниченностьПравить

Семейство   называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная  , которой ограничены все функции семейства:

 .

Равностепенная непрерывностьПравить

Семейство   называется равностепенно непрерывным, если для любого   существует   такая, что для всякого элемента   и для любых точек   и   таких, что  , выполняется строгое неравенство  .

ФормулировкаПравить

Теорема.

Функциональное семейство   является предкомпактным в полном метрическом пространстве   тогда и только тогда, когда это семейство является

  • равномерно ограниченным
  • равностепенно непрерывным.

ДоказательствоПравить

Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны вполне ограниченности данного семейства.

НеобходимостьПравить

Итак, пусть семейство   — вполне ограниченное.

Фиксируем   и построим конечную  -сеть вида:  .

Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа   такая что,   для всякого  .

Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять  .

Теперь, если взять произвольную функцию  , то для этой функции существует такой элемент    -сети, что   для всякого  . Очевидно, что в этом случае функция   будет ограничена константой  .

Тем самым показано, что семейство   является равномерно ограниченным.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента  -сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по   можно подобрать такое   такое, что   для любых точек   таких, что  .

Положим  .

Если теперь рассмотреть произвольную функцию  , то для заданного   будет иметь место строгое неравенство   для любых точек   таких, что  .

Действительно,  , где   — подходящий элемент  -сети.

Тем самым показано, что семейство   является равностепенно непрерывным.

Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.

ДостаточностьПравить

Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства   влечёт существование конечной  -сети для всякого конечного  .

Фиксируем  .

Пусть   — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.

Выберем такое  , которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине  .

Рассмотрим прямоугольник   и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем   по горизонтали и   по вертикали. Пусть  ,  ,   ,   — узлы этой решётки (по оси абсцисс).

Если теперь рассмотреть произвольную функцию  , то для каждого узла   решётки обязательно найдётся такая точка   решётки, что  . Если теперь рассмотреть ломаную функцию  , которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на  , то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на  , ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на  .

Поскольку каждая точка   отрезка   оказывается на одном из таких отрезков, скажем,  , то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит  :

 .

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является  -сетью для заданного  .

ПриложенияПравить

Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.

В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которой и будет искомым решением задачи Коши.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. третье, переработанное. — М.: Наука, 1972. — 496 с.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Ascoli, G. (1883—1884), «Le curve limiti di una varietà data di curve», Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521—586.
  2. Arzelà, Cesare (1882—1883), «Un’osservazione intorno alle serie di funzioni», Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell’Istituto di Bologna: 142—159.
  3. Arzelà, Cesare (1895), «Sulle funzioni di linee», Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55-74.
  4. Fréchet, Maurice (1906), «Sur quelques points du calcul fonctionnel», Rend. Circ. Mat. Palermo 22: 1-74, doi:10.1007/BF03018603.
  5. Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience.
  6. Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5-10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4.