Открыть главное меню

Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии[1]. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.

Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом[2], нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление -теории — теорию индекса[3].

Содержание

Определения и формулировкаПравить

Аналитический индекс дифференциального оператора  , где   и   — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием  , — это разность между размерностями его ядра и коядра:

 .

Для эллиптических операторов эти размерности конечны.

Топологический индекс эллиптического оператора   определяется как:

 ,

где   — символ оператора  , определяющий изоморфизм поднятий  ,   — расслоение единичных сфер кокасательного расслоения   многообразия  ,   — расслоение   над склейкой   двух экземпляров пространства расслоений   единичных шаров в   (  — край  );   — когомологический характер Чэня[en] расслоения  ;   — когомологический класс Тодда комплексифицированного кокасательного расслоения  ;  ;  , а часть « » означает взятие  -мерной компоненты элемента   на фундаментальном цикле многообразия  .

Утверждение теоремы заключается в равенстве аналитического и топологического индекса эллиптических операторов на замкнутых многообразиях.

ИсторияПравить

Частные проявления соотношения, выраженного в теореме об индексе, были обнаружены ещё в XIX веке, такова, например, формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы, а также её многомерные обобщения. Ещё одно проявление такой связи — теорема Римана — Роха для неособых алгебраических кривых (1865) и её обобщение на произвольные векторные расслоения на компактных комплексных многообразиях — теорема Римана — Роха — Хирцебруха[en] (1954).

Вопрос о возможном соотношении аналитического индекса эллиптических операторов и их топологических характеристик сформулировал Гельфанд в 1960 году[4], обратив внимание на инвариантность аналитического индекса относительно деформаций оператора. В 1963 году Атьёй и Зингером найдена такая топологическая характеристика; в 1964 году опубликовано доказательство для многообразий с краем. Первые варианты доказательства использовали технику, сходную с доказательством Хирцебруха обобщения гипотезы Римана — Роха, в значительной степени привлекали средства теории когомологий и кобордизмов и отличались значительной технической сложностью[5]. Через несколько лет формулировка и доказательство были переведены на язык  -теории[en], тем самым доказательство существенно упрощено, и открыта возможность для дальнейших обобщений, и в 1970-е — 1990-е годы аналоги теоремы был получены для более широких и различных специальных классов объектов.

Теорема об индексе (наряду с  -теорией и аналогом формулы Лефшеца для эллиптических операторов) была упомянута в номинации Атьи на Филдсовскую премию 1966 года. В 2004 году за теорему об индексе Атья и Зингер удостоены премии Абеля[6].

СледствияПравить

Из теоремы следует, что топологический индекс эллиптического оператора на замкнутом многообразии — целое число[1]. Другое следствие — аналитический и топологический индексы для оператора на многообразии нечётной размерности равны нулю[1].

Теорема Римана — Роха и её обобщения — теорема Римана — Роха — Хирцебруха[en] и теорема Римана — Роха — Гротендика[en] — естественные следствия теоремы об индексе.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Сарданашвили Г.А. Геометрия и квантовые поля. — Современные методы теории поля. — М.: УРСС, 2000. — Т. 4. — С. 146. — 160 с.
  2. Science Lives: Michael Atiyah (англ.). Simons Foundation.
  3. 19K56 — Index theory. Mathematical Subject Classification. AMS (2010). Дата обращения 30 августа 2014.
  4. И. М. Гельфанд. Об эллиптических уравнениях // Успехи математических наук. — 1960. — Т. 15, вып. 9, № 93. — С. 121–132. — ISSN 0042-1316. — DOI:10.1070/RM1960v015n03ABEH004094.
  5. Атья, Зингер, 1968.
  6. Старую теорему оценили по заслугам. MIGNews.com.

ЛитератураПравить

  • Р. Пале. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе. — М.: Мир, 1970.
  • М. Ф. Атья, И. М. Зингер. Индекс эллиптических операторов. I = «The index of elliptic operators. I // Успехи математических наук / Пер. с англ. С. И. Гельфанда. — 1968. — Т. 23, вып. 5, № 143. — С. 99—142. — ISSN 0042-1316.
  • Индекса формулы — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский, М. А. Шубин