Теорема Банаха о неподвижной точке

(перенаправлено с «Теорема Банаха»)

Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

ТеоремаПравить

Пусть   — непустое полное метрическое пространство.

Пусть   — сжимающее отображение на  , то есть существует число   такое, что

 

для всех   из  . Тогда у отображения   существует, и притом ровно одна, неподвижная точка   из   (неподвижная означает  )[1].

Число   часто называют коэффициентом сжатия.

Если число   равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

ДоказательствоПравить

Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства   и рассмотрим последовательность  .

Таким образом получим последовательность  .

Покажем, что эта последовательность фундаментальная. В самом деле:

 
 
 
 

По неравенству треугольника для  .

Так как по условию  , то  . Отсюда следует, что   при   и любом  .

Значит, последовательность   сходится в себе (фундаментальная).

В силу полноты пространства   существует элемент  , являющийся пределом этой последовательности  .

Докажем, что  .

По неравенству треугольника,  . Так как  , то для любого   при достаточно большом     и  . Так как   произвольно, то отсюда следует, что  , то есть  , что и требовалось доказать.

Докажем единственность неподвижной точки у оператора сжатия. Предположим, что существуют два различных элемента  , такие, что  . Тогда  . Если допустить, что  , то из предыдущего следует, что  . Но это противоречит условию  . Таким образом, наше допущение что   неверно и  .

ПрименениеПравить

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.