Открыть главное меню

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Содержание

ДоказательствоПравить

Поделим с остатком многочлен   на двучлен  :

 

где   — остаток. Так как  , то   — многочлен степени не выше 0, то есть константа. Подставляя  , поскольку  , имеем  .

СледствияПравить

  • Число   является корнем многочлена   тогда и только тогда, когда   делится без остатка на двучлен   (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена   тождественно множеству корней соответствующего уравнения  ).
  • Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  • Пусть   — целый корень приведённого многочлена   с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого   число   делится на  .

ПриложенияПравить

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. такжеПравить