Теорема Блоха

Теорема Блоха — основная теорема физики твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции частицы, находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха. В одномерном случае эту теорему часто называют теоремой Флоке[en]. Сформулирована в 1928 году.

Формулировка править

Строгая формулировка править

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана

 

где потенциал U(r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

 

где

 

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний.

Электронные волновые функции в виде  называют функциями Блоха. Но при этом важно понимать, что, в отличие от функций Блоха, амплитуды   не являются периодическими функциями, поскольку член   описывает плоскую волну.

Пояснения к формулировке править

В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.

Доказательство править

Обозначим за TR оператор трансляции произвольной функции на вектор R. В силу периодичности гамильтониана имеем:

 

Таким образом, оператор трансляции на произвольный вектор решётки Бравэ коммутирует с гамильтонианом системы. Кроме того, операторы трансляции на произвольные два вектора коммутируют между собой:

 

Из фундаментальной теоремы квантовой механики следует, что в этом случае состояния гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы они одновременно являлись собственными состояниями всех операторов TR:

 
 

Собственные значения c(R) связаны между собой соотношением c(R)c(R')=c(R+R'), поскольку, с одной стороны:

 

с другой:

 

Пусть ai — три основных вектора решётки Бравэ. Мы всегда можем представить с(ai) в виде

 

Для произвольного вектора R = n1a1+n2a2+n3a3 справедливо равенство:

 

эквивалентное равенству  , где   где bi — вектора обратной решётки, удовлетворяющие соотношению

 

Итак, собственные состояния ψ гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы для каждого вектора R решётки Бравэ выполнялось равенство:

 

что в точности соответствует утверждению теоремы.

См. также править

Литература править

  • Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твёрдого тела. Том 1. Глава 8.