Теорема Бойяи — Гервина утверждает, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Треугольник и квадрат, составленные из эквивалентного множества многоугольников

Формулировка

править

Пусть   и   — два многоугольника с одинаковой площадью. Тогда их можно разрезать соответственно на многоугольники   и  , так что для любого   многоугольник   конгруэнтен  .

Схема доказательства

править

Главным фактом, используемым в доказательстве, является транзитивность равносоставленности, то есть утверждение о том, что если многоугольник   равносоставлен   и многоугольник   равносоставлен  , то   равносоставлен  . Это утверждение очевидно, если рассмотреть разбиение многоугольника   одновременно по всей совокупности разделяющих линий, определяющих его разбиение при обоих переходах   и  .

Пользуясь этой леммой, теорему можно свести к более простой:

Любой многоугольник равносоставлен прямоугольнику той же площади с единичной высотой.

Последнее утверждение доказывается пошагово сведением задачи к разным частным случаям. Во-первых, рассматривается триангуляция многоугольника, что позволяет свести задачу к аналогичному утверждению только для треугольников (получившиеся прямоугольники можно будет просто соединить ввиду одинаковой высоты). Далее треугольник через отсечение верхней части, разбиении её на две части по линии высоты и приклеивание их по бокам к нижней части оказывается равносоставлен некоторому прямоугольнику.

Последним шагом в доказательстве теоремы является доказательство равносоставленности любых двух прямоугольников одинаковой площади. Это достигается через указание равносоставленности всех параллелограммов с одинаковой длиной основания, и через преобразование таким образом одного прямоугольника в параллелограмм с длиной боковой стороны, равной одной из сторон второго прямоугольника.

Замечания

править

История

править

Теорема о равновеликих треугольниках, которая позже стала известна как теорема Бойяи — Гервина, была доказана в 1807 году Уоллесом.[1]. Теорема названа в честь Фаркаша Бояи и Пола Гервина. Называется 1833-й год [2], как вероятный год, когда Пол Гервин независимо от Бояи и Уильяма Уоллеса доказал выше указанную теорему.

Примечания

править
  1. Ian Stewart: From Here to Infinity. Oxford University Press 1996 (3. edition), ISBN 978-0-19-283202-3, p. 169 (restricted online copy в «Книгах Google»)
  2. 1833 in science // https://en.wikipedia.org/wiki/1833_in_science Архивная копия от 7 августа 2020 на Wayback Machine

Литература

править
  • В. Г. Болтянский, А. Н. Савин. Равновеликие и равносоставленные фигуры. — Гостехиздат, 1956. — 64 с. — (Популярные лекции по математике, Выпуск 22).
  • В. Г. Болтянский. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с.

Ссылки

править