Теорема Борсука — Улама

Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая $n$-мерную сферу в $n$-мерное евклидово пространство для некоторой пары диаметрально противоположных точек имеет общее значение. Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора с равной температурой.

Впервые утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года; первое доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком, который сослался на Улама как автора формулировки.

Формулировка

Для непрерывной функции $f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$, где $\mathbb {S} ^{n}$ — сфера в $(n+1)$-мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки $a,-a\in \mathbb {S} ^{n}$, что $f(a)=f(-a)$.

Вариации и обобщения

• Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция $g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ из $n$-мерной сферы в $n$-мерное евклидово пространство в одной из точек $a\in \mathbb {S} ^{n}$ обращается в нуль: $g(a)=0$. Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции $f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ нечётной функции $g(x)=f(x)-f(-x)$. В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует изоморфизм Гуревича (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).

• В 1954 году Абрам Ильич Фет обобщил результат: утверждение теоремы имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции $n$-мерной сферы, то есть, для всякой инволюции $^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}$ и любой непрерывной функции $f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ найдётся такая точка $a\in \mathbb {S} ^{n}$, что $f(a)=f(a^{*})$.

Литература

• K. Borsuk. Drei Sätze über die $n$-dimensionale euklidische Sphäre  (нем.) // Fund. Math.. — 1933. — Bd. 20. — S. 177—190.
• F. E. Su. Borsuk-Ulam theorem implies the Brouwer fixed point theorem Borsuk—Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1997. — Vol. 104. — P. 855—859.
• М. Крейн, А. Нудельман. Теорема Борсука — Улама, или кое-что о погоде, о дрессированной лошади и о двумерных полях // Квант. — 1983. — № 8. — С. 20—25.