Теорема Борсука — Улама

Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая -мерную сферу в -мерное евклидово пространство для некоторой пары диаметрально противоположных точек[en] имеет общее значение. Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением[1]; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора с равной температурой.

Впервые утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года[2][3]; первое доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком, который сослался на Улама как автора формулировки.

ФормулировкаПравить

Для непрерывной функции  , где   — сфера в  -мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки  , что  .

Вариации и обобщенияПравить

  • Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция   из  -мерной сферы в  -мерное евклидово пространство в одной из точек   обращается в нуль:  . Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции   нечётной функции  . В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует изоморфизм Гуревича[en] (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).
  • В 1954 году Абрам Ильич Фет обобщил результат[4]: утверждение теоремы имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции  -мерной сферы, то есть, для всякой инволюции   и любой непрерывной функции   найдётся такая точка  , что  [5][6].

ПримечанияПравить

  1. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. — МЦМНО, 2010. — 352 с. — ISBN 978-5-94057-587-0.
  2. Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман. Топологические методы в вариационных задачах // Труды Института математики и механики при МГУ (специальный выпуск). — 1930.
  3. Jiří Matoušek. Using the Borsuk–Ulam theorem. — Berlin: Springer Verlag, 2003. — ISBN 3-540-00362-2. — doi:10.1007/978-3-540-76649-0.
  4. Крейн — Нудельман, 1983, Советский математик А. Фет, используя тонкие и сильные средства топологии, обнаружил, что теорема Борсука — Улама (даже в её  -мерном варианте) остаётся в силе, если на сфере   задана произвольная инволюция  , с. 25.
  5. А. И. Фет. Обобщение теоремы Люстерника — Шнирельмана о покрытиях сфер и некоторых связанных с ней теорем // ДАН. — 1954. — Т. 95, № 6.
  6. А. И. Фет. Инволюционные отображения и покрытия сфер // Труды семинара по функциональному анализу. — Воронежский университет, 1955. — Вып. 1.

ЛитератураПравить