Открыть главное меню

Теорема Борсука — Улама

Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая -мерную сферу в -мерное евклидово пространство для некоторой пары диаметрально противоположных точек имеет общее значение.

Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли () найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением[1]; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора () с равной температурой.

ФормулировкаПравить

Для непрерывной функции  , где   — сфера в  -мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки  , что  .

ИсторияПравить

Впервые утверждение встречается у Лазаря Ароновича Люстерника и Льва Генриховича Шнирельмана в работе 1930 года[2][3]. Первое доказательство опубликовал в 1933 году Кароль Борсук, в этой статье он утверждает, что формулировка принадлежит Станиславу Уламу.

Вариации и обобщенияПравить

  • Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция   из  -мерной сферы в  -мерное евклидово пространство в одной из точек   обращается в нуль:  . Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции   нечётной функции  . В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует изоморфизм Гуревича[en] (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера[en] (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).
  • Абрам Ильич Фет доказал это утверждение не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции  -мерной сферы. А именно, для всякой непрерывной инволюции   сферы   и любой непрерывной функции   найдётся такая точка  , что  .

ПримечанияПравить

  1. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология
  2. Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман. Топологические методы в вариационных задачах // Труды Института математики и механики при МГУ (специальный выпуск). — 1930.
  3. Jiří Matoušek. Using the Borsuk–Ulam theorem. — Berlin: Springer Verlag, 2003. — ISBN 3-540-00362-2. — DOI:10.1007/978-3-540-76649-0.

ЛитератураПравить