Открыть главное меню

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

Содержание

ИсторияПравить

Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю: в своей работе 1904 года[1] он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений[2]. Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая  .

ФормулировкаПравить

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве  . Пусть   — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка  , что  .

ДоказательствоПравить

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь   — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки   рассмотрим прямую, проходящую через точки   и   (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть   — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем   лежит между   и  . Легко видеть, что отображение   — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщенияПравить

СледствияПравить

ПримечанияПравить

  1. Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
  2. А. Д. Мышкис, И. М. Рабинович. Первое доказательство теоремы о неподвижной точке при непрерывном отображении шара в себя, данное латышским математиком П.Г.Болем (рус.) // Успехи математических наук : журнал. — Российская академия наук, 1955. — Т. 10, № 3. — С. 188—192.

ЛитератураПравить