Открыть главное меню
Красный четырёхугольник — параллелограмм

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма:

«Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.»

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

СледствияПравить

  • Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
  • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
  • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.
  • Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
  • Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
  • Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны.
  • Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны.

ДоказательствоПравить

Проведём диагональ  . Отрезки   и   будут средними линиями треугольников   и  . По теореме о средней линии, отрезки будут параллельны диагонали, а, значит, и друг другу. Повторив аналогичные рассуждения для диагонали  , получаем, что противоположные стороны четырёхугольника   параллельны, и, по определению, это — параллелограмм.

Доказательство, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольникаПравить

Пусть диагональ   проходит внутри четырёхугольника. Тогда площадь треугольника   равна  , где   --- высота треугольника  , проведённая из вершины  . Аналогично, площадь треугольника   равна  . Тогда площадь всего четырёхугольника равна  . Но   — это сумма расстояний до прямой   от точек   и  , то есть в точности высота параллелограмма  . А поскольку сторона   параллелограмма вдвое меньше  , то и площадь параллелограмма равна половине площади  , Q. E. D.

выпуклый четырёхугольник невыпуклый четырёхугольник самопересекающийся четырёхугольник

 

 

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить