Открыть главное меню

Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности

Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней (или нижней) грани. Несмотря на прозрачность и очевидность доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей или хотя бы доказательства их существования.

Доказательство и формулировкаПравить

Пусть   - ограниченная возрастающая последовательность. Тогда множество   ограничено, следовательно, по теореме о супремуме, имеет супремум. Обозначим его через  . Тогда  . Действительно, так как   — супремум множества  , то для любого   существует номер   такой, что  . Тогда для любого   имеем:  . Тогда   при  . Следовательно,  . Теорема доказана.[1]

ПримечанияПравить

  1. Зорич, с.101-102

ЛитератураПравить

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.