Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней[1].

Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно.[1]

Формулировка теоремыПравить

Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций, действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел.

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функцийПравить

В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:

Если функция   непрерывна на отрезке  , то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений, т. е. существуют   такие, что   для всех  .

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функцийПравить

  • Пусть функция   ограничена и полунепрерывна сверху. Тогда
      и  
  • Пусть функция   ограничена и полунепрерывна снизу. Тогда
      и  

ДоказательствоПравить

Доказательство теоремы для непрерывных функцийПравить

В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань  . Поскольку   — точная верхняя грань, существует последовательность   такая, что  . По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности   можно выделить сходящуюся подпоследовательность  , предел которой (назовем его  ) также принадлежит отрезку  . В силу непрерывности функции   имеем  , но с другой стороны  . Таким образом, точная верхняя грань   конечна и достигается в точке  .

Для нижней грани доказательство аналогично.

Доказательство теоремы в общем случаеПравить

Пусть   — компакт, и функция   непрерывна на  . Рассмотрим совокупность множеств  , где   — открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и, очевидно, образуют покрытие  . По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие  , откуда имеем  , ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции  ,  , и применить к ним только что доказанное утверждение.

ЗамечанияПравить

В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс

 

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I. — М., 1998. — С. 248—251.