Открыть главное меню

Теорема Вейерштрасса о целых функциях

ТеоремаПравить

Любая целая функция  , имеющая не более чем счётное количество нулей  , где точка 0 — нуль порядка  , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

 ,

где   — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа   подобраны таким образом, чтобы ряд

 

сходился при всех  . При   соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной  ).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции  , которая в заданных точках точках   ( ) имеет нули кратности  , является произведение

 ,

где   — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа   подобраны таким образом, чтобы ряд

 

сходился при всех  .

ПримерыПравить

Разложение синуса и косинуса в бесконечное произведение.

 
 

ЗамечаниеПравить

Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

ЛитератураПравить

  • Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл.
  • Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.
  • Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 316