Теорема Гаусса — Ванцеля

Теоре́ма Га́усса — Ва́нцеля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки.

ФормулировкаПравить

Правильный  -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда  , где   и   — неотрицательные целые числа, а   — различные простые числа Ферма.

ЗамечанияПравить

  • Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера   является степенью числа два.
  • В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма:
     [1]
поэтому (до открытия новых простых Ферма) с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным   = 4294967295.
  • Правильный  -многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины   можно построить отрезок, длина которого равна  косинусу центрального угла данного  -многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.

ИсторияПравить

Античным геометрам были известны способы построения правильных  -угольников для   и  .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных  -угольников при  , где   — различные простые числа Ферма. (Здесь случай   соответствует числу сторон  .)

В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением[3].Дж. Литлвуд

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. См. последовательность A019434 в OEIS.
  2. Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1832. — Т. 9. — С. 1—26, 146—161, 209—230, 337—358.
  3. Дж. Литлвуд. Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4.