Открыть главное меню

Теоре́ма Га́усса — Ва́нцеля утверждает, что правильный -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда , где — различные простые числа Ферма. Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера является степенью числа два.

ИсторияПравить

Античным геометрам были известны способы построения правильных  -угольников для   и  .

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных  -угольников при  , где   — различные простые числа Ферма. (Здесь случай   соответствует числу сторон  .)

В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

 Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением[2].
Дж. Литлвуд
 

ПримечанияПравить

  1. Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata (неопр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1832. — Т. 9. — С. 1—26, 146—161, 209—230, 337—358.
  2. Дж. Литлвуд. Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4.