Открыть главное меню

Теорема Грина — Тао

(перенаправлено с «Теорема Грина-Тао»)

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

ФормулировкаПравить

Хотя теорема Грина — Тао известна только доказательством самого факта присутствия сколько угодно длинных прогрессий в множестве простых чисел, однако имеются[2] значительные усиления этого утверждения: во-первых, утверждение остаётся верным для произвольного множества простых чисел положительной плотности (относительно множества всех простых чисел); во-вторых, имеются отдельные верхние оценки того, насколько большими могут быть элементы минимальной прогрессии в рассматриваемом множестве.

Далее в формулировках   означает множество простых чисел. Запись   означает  , где логарифм берётся   раз.

Теорема Грина-Тао

Пусть   — множество простых чисел, и его плотность относительно простых   строго положительна. Тогда для любого   множество   содержит арифметическую прогрессию длины  .

В своей отдельной более ранней работе[3] Грин доказал результат, касающийся функции распределения множества  , но только для частного случая трёхчленной прогрессии.

Существует константа   такая, что если для множества простых чисел   выполнено  , то оно содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

Поскольку требуемая функция асимптотически меньше количества простых чисел на отрезке  , то теорема остаётся верна для бесконечных множеств положительной плотности, когда  ,  . Таким образом, можно переформулировать последнюю теорему для фиксированной плотности.

Существует константа   такая, что для любого множества простых чисел   и его плотности   будет выполнено следствие: если  , то   содержит трёхчленную арифметическую прогрессию.

ПримерыПравить

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал).
  • 17 мая 2008 Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:
    6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.
  • 12 апреля 2010 Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:
    43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

Вариации и обобщенияПравить

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий[5]. Более точно, для любых заданных полиномов с целыми коэффициентами P1,…, Pk одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P1(m), …, x + Pk(m) простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k').

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

СсылкиПравить