Признак Дирихле

(перенаправлено с «Теорема Дирихле о рядах»)

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов править

Рассмотрим функции   и  , определённые на промежутке  ,  ,   и имеющую в точке   особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия:

  • интеграл с верхним переменным пределом   определён для всех   и ограничен на  ;
  • функция   монотонна на   и  .

Тогда   сходится.

Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке  . Пусть  ,   и   определена на  . В таком случае условия видоизменяются следующим образом:

  • интеграл с нижним переменным пределом   определён для всех   и ограничен на  ;
  •   монотонна на   и  .

Тогда   сходится.

Необязательно также, что  . Если  , то   и сходимость   равносильна сходимости  .

Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:

 

Здесь   – произвольное число из промежутка, а   — число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.

 

Однако условие монотонности не является необходимым.

  — сходится.
  • Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа править

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд  , где   и последовательность   — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа) править

Пусть выполнены условия:

  • Последовательность частичных сумм   ограничена, то есть  .
  •  .
  •  .

Тогда ряд   сходится.

  • Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  • Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:
 
  сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
  • Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд   и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка:  .
  • Доказательство признака Дирихле вытекает из преобразования Абеля.

Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром править

Пусть функция   и   определёны на множестве  ,  ,   и допускается, что интеграл   для каких-то точек   имеет особенность в точке  . Пусть выполнены условия:

  • интеграл с верхним переменным пределом   определён для всех  ,   и равномерно ограничен на  ;
  • функция   монотонна по   на   для каждого конкрентого   и   при  .

Тогда   сходится равномерно.

См. также править

Литература править

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.