Теорема Карно (термодинамика)

Теорема Карно — теорема о коэффициенте полезного действия (КПД) тепловых двигателей. Согласно этой теореме, КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и конструкции теплового двигателя и является функцией температур нагревателя и холодильника[1].

История править

В 1824 году Сади Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода»

Логика рассуждений Карно была такова: «…можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла

Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами….

Формулировки править

Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана), а также ранее Д.В.Сивухин (МФТИ) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата: «Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника:  

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников:  

Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):

3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя   и холодильника  :

 

 , ибо практически невозможно осуществить условие   и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого :  .

4°. Термический к.п.д.   произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами   и   нагревателя и холодильника:

 

5°. Термический к.п.д.   произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами   и  :

 

Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.

Доказательства теоремы Карно править

Существует несколько различных доказательств этой теоремы.

Доказательство Сади Карно править

…В различных положениях поршень испытывает давления более или менее значительные со стороны воздуха, находящегося в цилиндре; упругая сила воздуха меняется как от изменения объёма, так и от изменения температуры, но необходимо заметить, что при равных объёмах, то есть для подобных положений поршня, при разрежении температура будет более высокой, чем при сжатии. Поэтому в первом случае упругая сила воздуха будет больше, а отсюда движущая сила, произведенная движением от расширения, будет больше, чем сила, нужная для сжатия. Таким образом, получится излишек движущей силы, излишек, который можно на что-нибудь употребить. Воздух послужит нам тепловой машиной; мы употребили его даже наиболее выгодным образом, так как не происходило ни одного бесполезного восстановления равновесия теплорода.

Современное доказательство для идеального газа править

Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика» (см. рис).

 
Один из возможных вариантов теоретического цикла Карно

Процесс D-E:

Поскольку газ идеальный,   и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре  , превращается во внешнюю работу:

  [1]

Процесс В-C:

Подобным же образом, работа, совершенная при изотермическом сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:

  [2]

Процессы E-B и C-D:

Поскольку газ идеальный и   зависит только от температуры  , из уравнения   следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием  , получаем:

 

Чтобы найти связь между  ,  ,   и  , заметим, что, согласно уравнению Пуассона  , в адиабатических процессах:

(E → B): 

(C → D): 

и, следовательно,

 

Подставляя это соотношение в уравнения [1] и [2], получаем

 

В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен

 

Литература править

  • S. Carnot. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. — Paris, Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
  • Карно Николя Леонар Сади, Перевод В.Р. Бурсиана и Ю.А. Круткова. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу.
  • Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд. Элементарная термодинамика. Перевод с английского И. Б. Виханского. Под редакцией Н.М. Плакиды.(D. TER HAAR, Oxford University, H. WERGELAND, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. ELEMENTS OF THERMODYNAMICS. Addison-Wesley Publishing Company). — М.: Издательство «Мир», 1968.
  • Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. Для студентов и инженеров вузов. Издание седьмое, исправленное. — М.: Издательство «Наука», 1979.
  • Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. — М.: Издательство МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.
  • Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Физика. Справочное руководство: Для поступающих в вузы. – 5-е изд., переработанное. — М.: Физматлит, 2004.

Примечания править

  1. Главный редактор А. М. Прохоров. Карно теорема // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1983.//Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.

Ссылки править