Теорема Коши о многогранниках

Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.

ФормулировкаПравить

Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их гранями, рёбрами и вершинами имеется сохраняющее инцидентность взаимно однозначное соответствие, причём соответствующие грани многогранников конгруэнтны.

ИсторияПравить

Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.^[1] Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве.^[2] Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена Штейницем и исправлена только в 1934 году^[3].

Вариации и обобщенияПравить

Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.

Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
- Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.

Согласно теореме Александрова о развёртке, условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника.
- Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности (теорема Погорелова).

См. такжеПравить

Лемма о руке

ПримечанияПравить

↑ Legendre, A. M. "Éléments de géométrie". Paris, 1794. Note XII. P. 321–334.
↑ Cauchy A. L. Sur les polygones et polyèdres, Second mémoire // J. de l’École Polytechnique. 1813. V. 9. P. 87–98.
↑ Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.

ЛитератураПравить

Н. П. Долбилин, Жемчужины теории многогранников. М.: МЦНМО, 2000. 40 с. ISBN 5-900916-48-0; Тираж 2000 экз. Серия Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 5.
Лекция 24 в Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

[1] Legendre, A. M. "Éléments de géométrie". Paris, 1794. Note XII. P. 321–334.

[2] Cauchy A. L. Sur les polygones et polyèdres, Second mémoire // J. de l’École Polytechnique. 1813. V. 9. P. 87–98.

[3] Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.

[1]

[2]

[3]