Теорема Коши о среднем значении

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Коши.

Теорема Коши́ о среднем значении — обобщение формулы конечных приращений.

ФормулировкаПравить

Пусть даны две функции   и   такие, что:

  1.   и   определены и непрерывны на отрезке  ;
  2. производные   и   определены и конечны на интервале  ;
  3. производная   не обращается в нуль на интервале   (значит, по теореме Ролля,  ).

Тогда существует  , для которой верно:

 

ЗамечанияПравить

  • Потребовав явно, что  , можно ослабить условие 3 и требовать лишь чтобы   и   не обращались одновременно в нуль на интервале  .
  • Можно полностью опустить условие 3, если переписать формулу следующим образом:
     .
  • Геометрически утверждение можно переформулировать так: если   и   задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр  ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами   и  , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от   до  .

ДоказательствоПравить

Для доказательства введём функцию

 

Легко видеть, что для неё выполнены условия теоремы Ролля. Воспользовавшись этой теоремой, получим, что существует точка  , в которой производная функции   равна нулю:

 

Перенеся в этом равенстве второе слагаемое вправо мы получим формулу из наиболее общей формулировки теоремы.

В оригинальной формулировке остаётся разделить равенство на   и  . Оба эти числа будут ненулевыми и при ослаблении требования 3 до отсутствия общих нулей у   и  : для   это требуется явно, а если  , то

 .

Но, так как  , отсюда следует, что   — противоречие с условием.

ЛитератураПравить