Открыть главное меню

Теорема Адамара о степенном ряде (также теорема Коши — Адамара) — утверждение, которое даёт оценку радиуса сходимости степенных рядов для некоторых случаев. Названа в честь французских математиков Коши и Адамара. Теорема была опубликована Коши в 1821[1], но оставалась незамеченной пока Адамар не переоткрыл её[2]. Адамар опубликовал результат в 1888 году[3]. Он также включил его в докторскую диссертацию в 1892 году[4].

ФормулировкаПравить

Пусть   — степенной ряд с радиусом сходимости  . Тогда:

  если верхний предел   существует и положителен, то  ;

  если  , то  ;

  если верхнего предела   не существует, то  .

ДоказательствоПравить

  Пусть  .

Если точка   такова, что  , то   и можно найти такое число  , что почти для всех   будет выполняться  . Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия   является сходящейся мажорантой ряда  , то есть  .

Если, наоборот, точка   удовлетворяет условию  , то   и для бесконечного множества номеров   будет выполняться  . Следовательно, ряд   в точке   расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.

  Пусть  . Тогда для каждого   последовательность   сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число  , то для почти всех номеров   будет выполняться неравенство  , откуда, как и в  , следует сходимость ряда в точке  . Формально  .

  Верхнего предела   в   не существует (т.е. формально  ) в том и только том случае, если последовательность   неограничена сверху. Если  , то неограничена и последовательность  . Поэтому ряд   в точке   расходится. Следует отметить, что при   ряд   сходится к  . Окончательно   (т.е. формально  , фактически  ).

ПримечанияПравить

  1. Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique .
  2. Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, с. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Переведено на английский с итальянского Warren Van Egmond.
  3. Hadamard, J., "Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable", C. R. Acad. Sci. Paris Т. 106: 259–262 .
  4. Hadamard, J. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4e Série Т. VIII, <https://archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft> . Также в Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

ЛитератураПравить

  • Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления, М., Мир, 1971