Открыть главное меню

Теорема Куранта — Фишера

Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе[1].

Содержание

ФормулировкаПравить

 
  — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,
  — единичная сфера,
  — ортонормированный базис пространства  , состоящий из собственных векторов оператора  ,
  —  -ое собственное значение оператора   и  
  —  -мерное подпространство  .

ДоказательствоПравить

 ,
  —  -мерное подпространство  ,
  — линейная оболочка векторов  .
 .
Откуда следует, что  . Пусть   и  .
Так как   то  .
С другой стороны: так как   то

 
 

Равенство достигается при  .

ДополнительноПравить

Очевидно, что  .

ПримечанияПравить

  1. Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — c. 190

ЛитератураПравить

  1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц
  2. Ланкстер. Теория Матриц
  3. Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
  4. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия