Открыть главное меню

В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент сопоставляется с перестановкой , задаваемой тождеством где g — произвольный элемент группы G.

ПримерПравить

Рассмотрим группу   , с заданной операцией + . Найдём её отображение в  , то есть найдём подгруппу   изоморфную  .

Определим отображение  

 

 

 

 

Построение это не случайное. Для примера рассмотрим  . Как мы знаем куда перейдёт, скажем, число 2? Очень просто это сумма (операция группы  ) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы для которого мы определяем перестановку). Таким образом, к примеру,   задаёт тождественное отображение  . В самом деле, по вышеприведённом правилу сложения, для того чтобы определить куда переходит элемент g, нужно сделать операцию  , то есть получим  , то есть нижняя строчка перестановки идентична верхней.

Если посмотреть внимательней на это построение мы увидим следующую картину. Перестановка   задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 0. Перестановка   задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 1.   задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 2.   задаёт по сути «таблицу сложения» с числом 3. Таким образом мы получили полную таблицу сложения группы  .

Обратите внимание, отображение   является гомоморфизмом. К примеру,  . Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.

Доказательство теоремыПравить

Пусть   конечная группа порядка  . Нужно построить изоморфизм с G в подгруппу перестановок  . Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию  , где   является собранием перестановок G. Группу   определяем с помощью умножения слева   (в примере приведённом выше это была операция сложения в  ).

Докажем, что мы получили перестановку. Если  , то  , так как G группа, в частности все её элементы обратимы (существует  ). Кроме того, действие   на элемент группы x равняется   и это равняется   в виду ассоциативности G. Наконец, если   то тогда   и поэтому   является инъективной (1-1).

ЛитератураПравить

  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
  • Александров П.С. Введение в теорию групп. Библиотечка «Квант». Вып. 7. М.: Наука, 1980.