Теорема Кэли (теория групп)

В теории групп теорема Кэли утверждает, что любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок множества элементов этой группы. При этом каждый элемент сопоставляется с перестановкой , задаваемой тождеством где g — произвольный элемент группы G.

ДоказательствоПравить

Пусть   — конечная группа порядка  . Нужно построить изоморфизм с   в подгруппу перестановок  . Для этого достаточно сопоставить каждому элементу g в группе G перестановку элементов самой G (можно идентифицировать перестановку G с перестановкой любого другого множества при помощи взаимно-однозначного соответствия их элементов). Другими словами, нужно построить функцию  , где   является собранием перестановок G. Группу   определяем с помощью умножения слева  .

Докажем, что мы получили перестановку. Если  , то  , так как G группа, в частности все её элементы обратимы (существует  ). Кроме того, действие   на элемент группы x равняется   и это равняется   в виду ассоциативности G. Наконец, если   то тогда   и поэтому   является инъективной (1-1).

ПримерПравить

Рассмотрим группу   с заданной операцией   Найдём её отображение в   то есть найдём подгруппу   изоморфную  

Определим отображение  

 
 
 
 

В данном построении перестановка   для каждого   задаёт «таблицу сложения» с числом  . Для примера, число 2 в   переходит на сумму (операцию группы  ) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы, для которого определяется перестановка). Таким образом,   задаёт тождественное отображение  .

Отображение   является гомоморфизмом. К примеру,  . Из свойств гомоморфизма в частности следует, что множество полученных перестановок формируют группу.

ЛитератураПравить

  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
  • Александров П. С. Введение в теорию групп. Библиотечка «Квант». Вып. 7. М.: Наука, 1980.