Теорема Кёнига (механика)

Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.[1]

ФормулировкаПравить

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

 

где   — полная кинетическая энергия системы,   — кинетическая энергия движения центра масс,   — относительная кинетическая энергия системы[2].

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её движении относительно центра масс.

Более точная формулировка[3]:

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

ВыводПравить

Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему  ,  распределены непрерывно[4].

Найдём относительную кинетическую энергию   системы  ,  трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть   — радиус-вектор рассматриваемой точки системы    в подвижной системе координат. Тогда[5]:

 

где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.

Если   — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а   — радиус-вектор рассматриваемой точки системы    в исходной системе координат, то верно соотношение:

 

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:

 

Учитывая, что радиус-вектор   одинаков для всех  , можно, раскрыв скобки, вынести   за знак интеграла:

 

Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироваться[2] как кинетическая энергия движения центра масс.

Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём получается дифференцированием по времени произведения радиус-вектора центра масс на массу системы[6], но упомянутый радиус-вектор (а с ним и всё произведение) равен нулю:

 

так как начало координат подвижной системы находится (по сделанному предположению) в центре масс.

Третье же слагаемое, как было уже показано, равно  , т. е. относительной кинетической энергии системы  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Гернет, 1987, с. 258.
  2. 1 2 Журавлёв, 2001, с. 72.
  3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит, 2005. — Т. I. Механика. — С. 137—138. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
  4. Журавлёв, 2001, с. 71—72.
  5. Журавлёв, 2001, с. 71.
  6. Журавлёв, 2001, с. 66.

ЛитератураПравить

  • Гернет М. М.  Курс теоретической механики. 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1987. — 344 с.
  • Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3.