Теорема Лагранжа (теория групп)

Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:

Пусть группа G конечна, и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс подгруппы).

СледствияПравить

  1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы   в   одинаково и называется индексом подгруппы   в   (обозначается  ).
  2. Порядок любой подгруппы конечной группы   делит порядок  .
  3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы   делит порядок  . Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
  4. Группа порядка  , где  простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок  , и значит, каждый из них порождает группу.)

ИсторияПравить

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

См. такжеПравить