Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лебега.

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

ФормулировкаПравить

Пусть фиксировано пространство с мерой  . Предположим, что   и   — измеримые функции на  , причём   почти всюду. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая функция  , такая что   почти всюду, то функции   интегрируемы и

 

ЗамечаниеПравить

Условие мажорированности последовательности   интегрируемой функцией   принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть  , где   — борелевская  -алгебра на  , а   — мера Лебега на том же пространстве. Определим

 

Тогда последовательность   не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

 

Приложение к теории вероятностейПравить

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов  , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин:   почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина  , такая что   почти наверное. Тогда случайные величины   интегрируемы и

 

Вариации и обобщенияПравить