Открыть главное меню

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если  — алгебраическое число степени , а и  — любые целые числа , то имеет место неравенство

где  — положительная константа, зависящая только от и выражаемая в явном виде через сопряженные с величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

ОбобщенияПравить

При   теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для   теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел   степени   и   справедливо неравенство

     (*)

Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

 , где   — целое,

в частности, при  . Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при  . Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом  . Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число  , алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений  , удовлетворяющих неравенству

 .

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная   в неравенстве зависит от величин   и  .

См. такжеПравить

СсылкиПравить