Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если $\alpha$ — алгебраическое число степени $n>1$, а $p$ и $q$ — любые целые числа $(q\neq 0)$, то имеет место неравенство

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n}}}$

где $C$ — положительная константа, зависящая только от $\alpha$ и выражаемая в явном виде через сопряженные с $\alpha$ величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

$\xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!}}}.$

Обобщения

При $n=2$ теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для $n\geq 3$ теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел $\alpha$ степени $n$ и $\nu >{\frac {n}{2}}+1$ справедливо неравенство

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu }}}$    (*)

Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

$\nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s\right)$, где $s$ — целое,

в частности, при $\nu >2{\sqrt {n}}$. Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при $\nu >{\sqrt {2n}}$. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом $\nu >2$. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число $\xi$, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений $p/q$, удовлетворяющих неравенству

$\left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$.

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная $C=C(\alpha ,\;\nu )$ в неравенстве зависит от величин $\alpha$ и $\nu$.

См. также

• Лиувиллево число

Ссылки

• Michael Filaseta. The Beginning of Transcendental Numbers