Теорема Лёвенгейма — Скулема
Теоремы Лёвенгейма — Скулема — несколько теорем теории моделей, утверждающих существование моделей разных мощностей для теорий первого порядка. Различаются следующие теоремы:
- Теорема Лёвенгейма — Скулема, слабый вариант — непротиворечивая теория первого порядка в не более чем счётном языке имеет счётную модель.[1]
- Теорема Лёвенгейма — Скулема, сильный вариант (подмодельный вариант)
- Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности — каждая нормальная бесконечная модель мощности имеет нормальное элементарное расширение любой мощности, больше .[3]
Теорема Лёвенгейма — Скулема | |
---|---|
Названо в честь | Леопольд Лёвенгейм и Туральф Скулем |
Изучается в | теория моделей |
Дата открытия (изобретения) | 1915 |
Для отличия первых трёх теорем от последней теоремы используется также название теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности. Оно может использоваться как для сильного варианта[3], так и для слабого [5]. Теорему Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности также иногда называют теоремой Лёвенгейма — Скулема — Мальцева'.
Это утверждение впервые сформулировано и доказано в работе Леопольда Лёвенгейма 1915 года. То, насколько доказательство Лёвенгельма корректно и какую именно версию слабую или сильную оно доказывает — дискуссионный вопрос. Общепринятое доказательство сильной версии теоремы было получено Туральфом Скулемом в 1920 году, слабой версии — в 1922 году.[6]
Слабая теорема Лёвенгейма — Скулема
правитьСлабая версия теоремы Лёвенгейма — Скулема утверждает следующее:
- Любая непротиворечивая теория первого порядка со счётной или конечной сигнатурой имеет счётную модель.[1]
Данная теорема не требует аксиомы выбора и может быть доказана в ZF.[7] Её можно доказать при помощи обычного доказательства Хенкина существования модели, наблюдая за мощностью получаемой модели и следя за тем, чтобы нигде не использовалась аксиома выбора.
Стоит понимать, что в приведённой формулировке под словом модель понимается не обязательно нормальная модель. Нормальной счётной модели у такой теории может не быть. К примеру, если в теории есть теорема , то любая её модель будет иметь мощность . Для нормальных моделей слабая теорема Лёвенгейма — Скулема модифицируется так:
- Любая непротиворечивая теория первого порядка с равенством со счётной или конечной сигнатурой имеет счётную или конечную нормальную модель.
Эта версия теоремы также может быть доказана в ZF; для её доказательства достаточно взять счётную модель из утверждения выше и факторизовать её по отношению равенства.
Из слабой теоремы Лёвенгейма — Скулема следует такое контринтуитивное на первый взгляд утверждение, как существование счётной модели ZF (в случае её непротиворечивости). Это утверждение называется парадоксом Скулема.
Сильная теорема Лёвенгельма — Скулема
правитьСильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности встречается в двух вариантах: для не более чем счётной сигнатуры и для любой сигнатуры. Первый вариант частный случай второго.
Счётная или конечная сигнатура
правитьСильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема для счётной или конечной сигнатуры утверждает следующее:
- У любой бесконечной модели теории первого порядка над счётной или конечной сигнатурой есть счётная элементарная подмодель.
Это утверждение обозначается LS. Данная теорема уже не может быть доказана в ZF, она требует дополнительно аксиому зависимого выбора. Более того, сильная теорема Лёвенгейма — Скулема для счётной сигнатуры в ZF эквивалентна аксиоме зависимого выбора, то есть .[4]
Набросок доказательства. Пусть структура является моделью множества формул счётного языка . Построим цепочку подструктур , . Для каждой формулы такой, что , обозначим через произвольный элемент модели, для которого . Пусть — подструктура , сгенерированная множеством
Индуктивно определим как подструктуру, сгенерированную множеством
Так как количество формул счётно, каждая из подструктур счётна. Заметим также, что их объединение удовлетворяет критерию Тарского — Вота и, следовательно, является элементарной подструктурой , что и завершает доказательство.
Теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности в счётном варианте эквивалентна над ZF следующему утверждению: если некоторая бесконечная модель теории над счётной или конечной сигнатурой, её не более чем счётное подмножество, то существует счётная элементарная подмодель , содержащая .[2]
Для случая нормальных моделей теорема может быть переформулирована следующим образом:
- У любой бесконечной нормальной модели теории первого порядка с равенством над счётной или конечной сигнатурой есть счётная или конечная элементарная подмодель.
Эта формулировка также эквивалентна над ZF приведённой выше формулировке.
Произвольная сигнатура
правитьСильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема для произвольной сигнатуры утверждает следующее:
- У любой бесконечной модели теории первого порядка, сигнатура которой имеет бесконечную мощность , есть элементарная подмодель мощности меньшей или равной .
Случай конечной сигнатуры уже рассматривался выше: там в качестве просто берётся . Иногда, чтобы оба случая покрыть одним утверждением, разрешают сигнатуру любой мощности, а про элементарную подмодель говорят, что она имеет мощность меньшую или равную .[3]
Данная теорема в полном объёме требует для доказательства аксиому выбора. Более точно: пусть — некоторый бесконечный кардинал. Обозначим за следующее утверждение:
- Для каждой бесконечной модели некоторой теории первого порядка, мощность сигнатуры которой меньше или равна , существует элементарная подмодель, мощность которой меньше или равна .
За обозначим аксиому выбора для семейств мощности , за — аксиому выбора для вполнеупорядочиваемых семейств, за — аксиому зависимого выбора. Тогда над ZF верны следующие эквивалентности:
Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности
правитьТеорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности утверждает следующее:
- Любая бесконечная нормальная модель мощности теории первого порядка с равенством имеет нормальное элементарное расширение любой мощности большей .[3]
Требование бесконечности изначальной модели здесь существенно: вновь пример теории с теоремой . Такая теория будет иметь нормальную модель только мощности . Однако если теория всё же имеет хоть какую-то бесконечную нормальную модель, то эту модель можно расширять до какой угодно мощности. Объединив теорему о повышении мощности с теоремой о понижении мощности, можно увидеть, что для теории, имеющей бесконечную модель, есть модели для любой бесконечной мощности, большей мощности сигнатуры.
Теорема Лёвенгейма — Скулема формулируется именно для нормальных моделей. Для произвольных (не обязательно нормальных) моделей утверждение тривиально: любую модель (даже конечную) можно повысить до любой большей мощности; достаточно просто один любой элемент скопировать нужное число раз и все его копии объявить равными относительно интерпретации предиката равенства. Так как модель не нормальная, от предиката равенства не требуется, чтобы он выполнялся только для равных элементов в модели.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ 1 2 Беклимишев, с. 46.
- ↑ 1 2 Karagila, с. 1.
- ↑ 1 2 3 4 5 Беклимишев, с. 48.
- ↑ 1 2 3 Karagila, с. 2.
- ↑ Găină, 2017, с. 1717.
- ↑ Jane, 2005, с. 93.
- ↑ Smullyan, 1996, с. 133.
- ↑ Espindola, с. 1.
Литература
править- Беклимишев Л. Д., Кузнецов С. Л., Яворская Т. Л. Обязательный спецкурс кафедры математической логики и теории алгоритмов . https://homepage.mi-ras.ru/~sk/ (21 мая 2016). Дата обращения: 20 апреля 2024.
- Jane I. What Did Löwenheim Prove? (англ.) // Philosophia Mathematica : журнал. — 2005. — 1 February (vol. 11, iss. 13). — P. 91—106. — doi:10.1093/philmat/nki004.
- Smullyan R. M, Fitting M. Set Theory and the Continuum Problem. — Clarendon Press, 1996. — 288 с.
- Karagila A. Downward Löwenheim-Scolem Theorem and Choice Principles (англ.). https://aragila.org (31 марта 2014). Дата обращения: 20 апреля 2024.
- Găină D. Downward Löwenheim–Skolem Theorem and interpolation in logics with constructors (англ.) // Journal of Logic and Computation. — 2017. — September (vol. 27, no. 6). — P. 1717–1752. — doi:10.1093/logcom/exv018.
- Espindola C. L¨owenheim-Skolem theorems and Choice principles (англ.). Дата обращения: 24 апреля 2024.