Теорема Лёвенгейма — Скулема

Теоремы Лёвенгейма — Скулема — несколько теорем теории моделей, утверждающих существование моделей разных мощностей для теорий первого порядка. Различаются следующие теоремы:

  • Теорема Лёвенгейма — Скулема, слабый вариант — непротиворечивая теория первого порядка в не более чем счётном языке имеет счётную модель.[1]
  • Теорема Лёвенгейма — Скулема, сильный вариант (подмодельный вариант)
    • счётная версия — каждая бесконечная модель теории первого порядка в не более чем счётном языке имеет счётную элементарную подмодель.[2]
    • несчётная версия — каждая бесконечная модель теории первого порядка в языке имеет элементарную подмодель мощности меньшей или равной .[3][4]
  • Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности — каждая нормальная бесконечная модель мощности имеет нормальное элементарное расширение любой мощности, больше .[3]
Теорема Лёвенгейма — Скулема
Названо в честь Леопольд Лёвенгейм и Туральф Скулем
Изучается в теория моделей
Дата открытия (изобретения) 1915
Схематичная иллюстрация

Для отличия первых трёх теорем от последней теоремы используется также название теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности. Оно может использоваться как для сильного варианта[3], так и для слабого [5]. Теорему Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности также иногда называют теоремой Лёвенгейма — Скулема — Мальцева'.

Это утверждение впервые сформулировано и доказано в работе Леопольда Лёвенгейма 1915 года. То, насколько доказательство Лёвенгельма корректно и какую именно версию слабую или сильную оно доказывает — дискуссионный вопрос. Общепринятое доказательство сильной версии теоремы было получено Туральфом Скулемом в 1920 году, слабой версии — в 1922 году.[6]

Слабая теорема Лёвенгейма — Скулема

править

Слабая версия теоремы Лёвенгейма — Скулема утверждает следующее:

Любая непротиворечивая теория первого порядка со счётной или конечной сигнатурой имеет счётную модель.[1]

Данная теорема не требует аксиомы выбора и может быть доказана в ZF.[7] Её можно доказать при помощи обычного доказательства Хенкина существования модели, наблюдая за мощностью получаемой модели и следя за тем, чтобы нигде не использовалась аксиома выбора.

Стоит понимать, что в приведённой формулировке под словом модель понимается не обязательно нормальная модель. Нормальной счётной модели у такой теории может не быть. К примеру, если в теории есть теорема  , то любая её модель будет иметь мощность  . Для нормальных моделей слабая теорема Лёвенгейма — Скулема модифицируется так:

Любая непротиворечивая теория первого порядка с равенством со счётной или конечной сигнатурой имеет счётную или конечную нормальную модель.

Эта версия теоремы также может быть доказана в ZF; для её доказательства достаточно взять счётную модель из утверждения выше и факторизовать её по отношению равенства.

Из слабой теоремы Лёвенгейма — Скулема следует такое контринтуитивное на первый взгляд утверждение, как существование счётной модели ZF (в случае её непротиворечивости). Это утверждение называется парадоксом Скулема.

Сильная теорема Лёвенгельма — Скулема

править

Сильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности встречается в двух вариантах: для не более чем счётной сигнатуры и для любой сигнатуры. Первый вариант частный случай второго.

Счётная или конечная сигнатура

править

Сильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема для счётной или конечной сигнатуры утверждает следующее:

У любой бесконечной модели теории первого порядка над счётной или конечной сигнатурой есть счётная элементарная подмодель.

Это утверждение обозначается LS. Данная теорема уже не может быть доказана в ZF, она требует дополнительно аксиому зависимого выбора. Более того, сильная теорема Лёвенгейма — Скулема для счётной сигнатуры в ZF эквивалентна аксиоме зависимого выбора, то есть  .[4]

Набросок доказательства. Пусть структура   является моделью множества формул счётного языка  . Построим цепочку подструктур  ,  . Для каждой формулы   такой, что  , обозначим через   произвольный элемент модели, для которого  . Пусть   — подструктура  , сгенерированная множеством

 

Индуктивно определим   как подструктуру, сгенерированную множеством

 

Так как количество формул счётно, каждая из подструктур   счётна. Заметим также, что их объединение удовлетворяет критерию Тарского — Вота и, следовательно, является элементарной подструктурой  , что и завершает доказательство.

Теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности в счётном варианте эквивалентна над ZF следующему утверждению: если   некоторая бесконечная модель теории над счётной или конечной сигнатурой,   её не более чем счётное подмножество, то существует счётная элементарная подмодель  , содержащая  .[2]

Для случая нормальных моделей теорема может быть переформулирована следующим образом:

У любой бесконечной нормальной модели теории первого порядка с равенством над счётной или конечной сигнатурой есть счётная или конечная элементарная подмодель.

Эта формулировка также эквивалентна над ZF приведённой выше формулировке.

Произвольная сигнатура

править

Сильная версия теоремы Лёвенгейма — Скулема для произвольной сигнатуры утверждает следующее:

У любой бесконечной модели теории первого порядка, сигнатура которой имеет бесконечную мощность  , есть элементарная подмодель мощности меньшей или равной  .

Случай конечной сигнатуры уже рассматривался выше: там в качестве   просто берётся  . Иногда, чтобы оба случая покрыть одним утверждением, разрешают сигнатуру любой мощности, а про элементарную подмодель говорят, что она имеет мощность меньшую или равную  .[3]

Данная теорема в полном объёме требует для доказательства аксиому выбора. Более точно: пусть   — некоторый бесконечный кардинал. Обозначим за   следующее утверждение:

Для каждой бесконечной модели некоторой теории первого порядка, мощность сигнатуры которой меньше или равна  , существует элементарная подмодель, мощность которой меньше или равна  .

За   обозначим аксиому выбора для семейств мощности  , за   — аксиому выбора для вполнеупорядочиваемых семейств, за   — аксиому зависимого выбора. Тогда над ZF верны следующие эквивалентности:

  • для любого алефа   утверждение   эквивалентно конъюнкции   и  [4];
  • утверждение «для любого алефа   выполняется  » эквивалентно  ;
  • утверждение «для любого бесконечного кардинала   выполняется  » эквивалентно полной аксиоме выбора.[8]

Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности

править

Теорема Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности утверждает следующее:

Любая бесконечная нормальная модель мощности   теории первого порядка с равенством имеет нормальное элементарное расширение любой мощности большей  .[3]

Требование бесконечности изначальной модели здесь существенно: вновь пример теории с теоремой  . Такая теория будет иметь нормальную модель только мощности  . Однако если теория всё же имеет хоть какую-то бесконечную нормальную модель, то эту модель можно расширять до какой угодно мощности. Объединив теорему о повышении мощности с теоремой о понижении мощности, можно увидеть, что для теории, имеющей бесконечную модель, есть модели для любой бесконечной мощности, большей мощности сигнатуры.

Теорема Лёвенгейма — Скулема формулируется именно для нормальных моделей. Для произвольных (не обязательно нормальных) моделей утверждение тривиально: любую модель (даже конечную) можно повысить до любой большей мощности; достаточно просто один любой элемент скопировать нужное число раз и все его копии объявить равными относительно интерпретации предиката равенства. Так как модель не нормальная, от предиката равенства не требуется, чтобы он выполнялся только для равных элементов в модели.

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 Беклимишев, с. 46.
  2. 1 2 Karagila, с. 1.
  3. 1 2 3 4 5 Беклимишев, с. 48.
  4. 1 2 3 Karagila, с. 2.
  5. Găină, 2017, с. 1717.
  6. Jane, 2005, с. 93.
  7. Smullyan, 1996, с. 133.
  8. Espindola, с. 1.

Литература

править
  • Беклимишев Л. Д., Кузнецов С. Л., Яворская Т. Л. Обязательный спецкурс кафедры математической логики и теории алгоритмов. https://homepage.mi-ras.ru/~sk/ (21 мая 2016). Дата обращения: 20 апреля 2024.
  • Jane I. What Did Löwenheim Prove? (англ.) // Philosophia Mathematica : журнал. — 2005. — 1 February (vol. 11, iss. 13). — P. 91—106. — doi:10.1093/philmat/nki004.
  • Smullyan R. M, Fitting M. Set Theory and the Continuum Problem. — Clarendon Press, 1996. — 288 с.
  • Karagila A. Downward Löwenheim-Scolem Theorem and Choice Principles (англ.). https://aragila.org (31 марта 2014). Дата обращения: 20 апреля 2024.
  • Găină D. Downward Löwenheim–Skolem Theorem and interpolation in logics with constructors (англ.) // Journal of Logic and Computation. — 2017. — September (vol. 27, no. 6). — P. 1717–1752. — doi:10.1093/logcom/exv018.
  • Espindola C. L¨owenheim-Skolem theorems and Choice principles (англ.). Дата обращения: 24 апреля 2024.