Теорема Майерса

(перенаправлено с «Теорема Мейера»)

Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.

ФормулировкаПравить

Если кривизна Риччи полного  -мерного риманова многообразия   ограничена снизу положительной величиной   при некотором  , то его диаметр не превосходит  . Более того, если диаметр равен  , то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны  .

СледствияПравить

Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого Риманова многообразия  . В частности, универсальное накрытие   конеченолистно и значит фундаментальная группа   конечна.

ИсторияПравить

Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.[1]

Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны,[2] (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).

Теорема доказана Майерсом (англ.).[3]

Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.[4]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. (German) Comment. Math. Helv. 3 (1931), no. 1, 209–225.
  2. Bonnet, Ossian. "Sur quelques propriétés des lignes géodésiques." CR Acad. Sci. Paris 40 (1855): 1311-1313
  3. Myers, S. B. (1941), Riemannian manifolds with positive mean curvature, Duke Mathematical Journal Т. 8 (2): 401–404, DOI 10.1215/S0012-7094-41-00832-3 
  4. Cheng, Shiu Yuen (1975), Eigenvalue comparison theorems and its geometric applications, Mathematische Zeitschrift Т. 143 (3): 289–297, ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/BF01214381