Открыть главное меню

Теоре́ма Э́мми Нётер — теорема, доказанная Эмми Нётер в 1918 году. Была впервые определена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и самой Эмми Нётер.

Содержание

Общие сведенияПравить

Симметрия в физике
Преобразование Соответствующая
инвариантность
Соответствующий
закон
сохранения
Трансляции времени Однородность
времени
…энергии
C, P, CP и T-симметрии Изотропность
времени
…чётности
Трансляции пространства Однородность
пространства
…импульса
Вращения пространства Изотропность
пространства
…момента
импульса
Группа Лоренца (бусты) Относительность
Лоренц-ковариантность
…движения
центра масс
~ Калибровочное преобразование Калибровочная инвариантность …заряда

Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Если действие инвариантно относительно n-параметрической непрерывной группы преобразований, то существует n независимых законов сохранения.

Теорема Нётер формулирует достаточное условие существования законов сохранения. Однако это условие не является необходимым, поэтому могут существовать законы сохранения, не следующие из неё (такие примеры известны)[1]. Известна теорема, формулирующая необходимые и достаточные условия существования законов сохранения[2].


ФормулировкаПравить

Первая теорема НётерПравить

Если интеграл действия   инвариантен по отношению к некоторой  -параметрической конечной группе Ли  , то   линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа-Эйлера) обращаются в дивергенции; и обратно, из последнего условия вытекает инвариантность   по отношению к некоторой группе  [3].

В теоретической физике выражения, стоящие под знаком дивергенций, называются токами. Если лагранжевы производные равны нулю (выполняются уравнения Эйлера), то дивергенции токов обращаются в нуль. Следствием этого являются дифференциальные законы сохранения. Интегральные законы сохранения типа закона сохранения электрического заряда или закона сохранения энергии получаются при интегрировании дифференциальных законов сохранения по специальным образом выбранной 3-мерной гиперповерхности при определённых граничных условиях[4].

Первая обратная теорема НётерПравить

Если   линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа-Эйлера) обращаются в дивергенции, то интеграл действия инвариантен относительно  -параметрической конечной группы Ли[4].

Вторая теорема НётерПравить

Обобщением первой теоремы Нётер для случая функционалов, инвариантных относительно произвольных бесконечных групп Ли  , является вторая теорема Нётер.

Если интеграл действия   инвариантен по отношению к некоторой   - параметрической бесконечной группе Ли  , в которой встречаются производные до  -го порядка включительно, то имеет место   тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до  -го порядка. Обратное тоже верно.[3]

Вторая обратная теорема НётерПравить

Если имеет место   тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до  -го порядка включительно, то интеграл действия инвариантен относительно бесконечной группы Ли  , преобразования которой содержат производные до  -го порядка [4].

Классическая механикаПравить

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов  , сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

 

В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

 

и функция Лагранжа   инвариантна относительно этих преобразований, то есть

  при  

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

 

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра  , причем в процессе движения  . Тогда из преобразований

 
 

следует первый интеграл

 

Теория поляПравить

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от   потенциалов, зависящих, в свою очередь, от   координат. Функционал действия будет иметь вид

 

Пусть однопараметрическая группа   диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор

 

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование,  . Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

 

поэтому поток   через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток   через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Дифференциальные уравненияПравить

Пусть имеется вариационная задача с функционалом действия  . Здесь   — лагранжиан,   — независимые переменные,   — зависимые переменные, то есть функции от  .   может зависеть также и от производных   по  , не обязательно только первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к дифференциальным уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые можно записать в виде

 

где   — операторы Эйлера-Лагранжа:

 

  — производная функции   по переменной  . Многоточие означает, что если   зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в  . В компактной записи

 ,

где   — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем слагаемым таким, что производная   входит в  .

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала   с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохраненияПравить

Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

 

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа. Здесь   — полная дивергенция (дивергенция с полными производными) по  .   — гладкие функции  ,   и производных   по  .

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

  • для которых   само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
  • или для которых   обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
  • или для которых   есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями   и   разность   даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

 

где   — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений:  . Для описываемого случая   и

 

  зависят от  ,   и производных   по   и называются характеристиками закона сохранения.

Вариационные симметрииПравить

Пусть имеется обобщённое векторное поле

 

«Обобщённое» понимается в том смысле, что   и   могут зависеть не только от   и  , но и от производных   по  .

Определение:   называется вариационной симметрией функционала  , если существует набор функций   такой, что

 

  — продолжение  . Продолжение учитывает, что действие   на   и   вызывает также инфинитезимальное изменение производных, и задаётся формулами

 

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме  , слагаемые с такими  , для которых   входят в   или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что   — это инфинитезимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал   таким образом, что уравнения Эйлера-Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

теорема: если   является вариационной симметрией, то   является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера-Лагранжа:

 

Эта формула означает, что инфинитезимальные изменения выражений  , записанные здесь в виде  , обращаются в 0 на решениях.

Характеристики векторных полейПравить

Набор функций   (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля  . Вместо   можно брать векторное поле

 

которое называется эволюционным представителем  .

  и   определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики  , можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение   определяется аналогично продолжению  , но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от  .

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

Теорема НётерПравить

Обобщённое векторное поле   определяет группу симметрий функционала   в том и только в том случае, если его характеристика   является характеристикой закона сохранения   для соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохраненияПравить

В классической механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выводятся из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты — вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

ПриложенияПравить

Теорема Нётер позволяет получать значительную информацию о свойствах решений системы дифференциальных уравнений, основываясь лишь на их симметрии. Она также является одним из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, так как позволяет в некоторых случаях находить первые интегралы системы уравнений и таким образом понижать число неизвестных функций. Например:

  • Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов. Конкретнее, если сдвиг вдоль оси X не меняет систему уравнений, то сохраняется импульс   вдоль этой оси.
  • Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.
  • Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

В случае уравнений в частных производных необходимо, вообще говоря, искать бесконечное число первых интегралов. Даже зная их, обычно нелегко выписать общее решение.

В силу своей фундаментальности, теорема Нётер используется в таких областях физики, как квантовая механика, для самого введения понятий импульса, момента импульса и т. д. Инвариантность уравнений относительно некоторых симметрий становится единственной сутью этих величин и гарантирует их сохранение.

В квантовой теории поля аналогом теоремы Нётер являются тождества Уорда — Такахаси (англ.), позволяющие получить дополнительные законы сохранения. Например, закон сохранения электрического заряда следует из инвариантности физической системы относительно изменения фазы комплексной волновой функции частицы и соответствующей калибровки векторного и скалярного потенциала электромагнитного поля.

Заряд Нётер также используется для вычисления энтропии стационарной чёрной дыры[5].

ПримечанияПравить

  1. В. А. Дородницын, Г. Г. Еленин Симметрия нелинейных явлений // Компьютеры и нелинейные явления. - М., Наука, 1988. - с. 168
  2. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. - М., Наука, 1983. - с. 229
  3. 1 2 Эмми Нётер Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики / под ред. Полак Л. С. — М., Физматлит, 1959. — с. 613-614
  4. 1 2 3 Коноплёва Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. — М., Атомиздат, 1980. — c. 56, 69, 70
  5. Calculating the entropy of stationary black holes(англ.)

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 280 с., 1983 г.
  • Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Наука, 228 с., 1961 г.

СсылкиПравить