Теорема Паппа

Теорема Паппа

Теоре́ма Па́ппа — это классическая теорема проективной геометрии.

ФормулировкаПравить

Пусть A, B, C — три точки на одной прямой, A' , B' , C'  — три точки на другой прямой. Пусть три прямые АВ' , BC' , CA' пересекают три прямые A’B, B’C, C’A, соответственно в точках X, Y, Z. Тогда точки X, Y, Z лежат на одной прямой.

ЗамечанияПравить

Двойственная формулировка к теореме Паппа является лишь переформулировкой самой теоремы:

Пусть прямые   проходят через точку A,   проходят через точку A'.   пересекает   и   в точках B и C,   пересекает   и   в точках C' и Z,   пересекает   и   в точках B' и X. Тогда прямые BC', B’C и XZ пересекаются в одной точке (на чертеже — точка Y) или параллельны.

ИсторияПравить

Формулировка и доказательство этой теоремы содержатся в «Математическом собрании» Паппа Александрийского (начало IV века н. э.). В Новое время теорема была опубликована издателем и комментатором работ Паппа Федерико Коммандино в 1566 году.

ДоказательстваПравить

 
Точки X, Y, Z лежат на одной прямой

Доказательство удалением точек на бесконечностьПравить

Пусть точка  - точка пересечения прямых, на которых лежат точки  ,  ,   и  ,  ,  .

Рассмотрим пересечения прямых:

 

 

 

Теперь применим проективное отображение, переводящее прямую   на бесконечность. Тогда  .

Так как  :  . Теперь необходимо доказать, что  .

Рассмотрим подобные треугольники.

 

 

Отсюда следует, что   (по второму признаку подобия треугольников)  .

Что и требовалось доказать.

Доказательство через теорему МенелаяПравить

Применяя к треугольникам  ,   и   теорему Менелая, также можно доказать данное утверждение.

Вариации и обобщенияПравить

Теорема Паппа является вырожденным случаем в теореме Паскаля: если заменить в теореме Паскаля вписанный в конику шестиугольник на вписанный в пару пересекающихся прямых, то она станет эквивалентной теореме Паппа. Сам Паскаль считал пару прямых коническим сечением (то есть считал теорему Паппа частным случаем своей теоремы).

Двойственная формулировка является вырожденным случаем Теоремы Брианшона.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить