Открыть главное меню

Теорема Пика (комплексный анализ)

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.

ФормулировкаПравить

Пусть   — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

 

Тогда для любых точек   и   круга   расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:

 .

Более того, равенство достигается только в том случае, когда   есть дробно-линейная функция, отображающая круг   на себя.

ЗамечанияПравить

Поскольку

 

условие

 

эквивалентно следующему неравенству:

 

Если   и   бесконечно близки, оно превращается в

 

ЛитератураПравить

  • Рick G. Mathematische Annalen. — 1016. — Bd 77. — S. 1—6.
  • Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.