Теорема Планшереля

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году[1]. Играет важную роль в функциональном анализе.

ФормулировкаПравить

Для всякой функции действительного переменного  , принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем   на интервале  , существует такая функция действительного переменного  , также принадлежащая   на интервале  , что

 .

Также выполняются равенства:

 

и

 .

Функция  , являющаяся преобразованием Фурье функции  , однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль [2].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Plancherel, Michel & Mittag-Leffler (1910), Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Т. 30 (1): 289–335, DOI 10.1007/BF03014877 
  2. Н. Винер, Р. Пэли Преобразование Фурье в комплексной области. — М., Наука, 1964. — с. 10-11

ЛитератураПравить

  • C. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. — М., Физматлит, 1962. — 360 c.