Открыть главное меню

Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:

где плотность энергии: ;

 — электрическая постоянная,  — магнитная постоянная;
оператор набла; S — вектор Пойнтинга;
J — плотность тока и E — напряженность электрического поля.

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

,

где  — поверхность, ограничивающая объём .

В технической литературе теорема обычно записывается так ( — плотности энергии):

,

где  — плотность энергии электрического поля,  — плотность энергии магнитного поля и  — мощность джоулевых потерь в единице объёма.

ВыводПравить

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε0 и μ0 приписать ε и μ):

 

Домножив обе части уравнения на  , получим:

 

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

 

Домножив обе части уравнения на  , получим:

 

Вычитая первое из второго, получим:

 

Наконец:

 

Поскольку вектор Пойнтинга   определяется как:

 

это равносильно:

 

ОбобщениеПравить

Механическая энергия описанной выше теоремы

 

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

 

  — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

 

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии

 

Альтернативные формыПравить

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока   можно выбрать форму Авраама  , форму Минковского  , или какую-либо другую.