Теорема Рауса

Routh theorem2.svg

Теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами. Теорема утверждает, что если в треугольнике точки , и лежат на сторонах , и соответственно, то, обозначив , и , ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами , и по отношению к площади треугольника выражается соотношением

Теорема была доказана Э. Дж. Раусом на 82 странице его Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples в 1896 году. В частном случае, теорема представляет собой известную теорему об one-seventh area triangle. В случае медианы пересекаются в центроиде.

ДоказательствоПравить

Положим площадь треугольника   равной  . Для треугольника   и линии  , используя теорему Менелая, получим:

 

Тогда   Поэтому площадь треугольника   равна

 

Аналогично, получаем:   и   Таким образом, площадь треугольника   равна:

 
 
 

СсылкиПравить

  • Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh’s theorem», Crux Mathematicorum 7:199-203.
  • H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219-220, 2nd edition, Wiley, New York.
  • J. S. Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh’s theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
  • Jay Warendorff. Routh’s Theorem The Wolfram Demonstrations Project.
  • Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Routh’s Theorem by Cross Products - MathPages
  • Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh’s theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.