Открыть главное меню

Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.

ФормулировкаПравить

Пусть существуют гильбертово пространство   и линейный ограниченный функционал   в пространстве  . Тогда существует единственный элемент   пространства  , такой, что для произвольного   выполняется  . Кроме того, выполняется равенство:  .

ДоказательствоПравить

  ядро линейного функционала является векторным подпространством  .

Существование  Править

Если  , то достаточно взять  . Предположим, что  . Тогда  , и, следовательно, ортогональное дополнение   ядра   не равно  . Выберем произвольный ненулевой вектор  . Положим  . Мы покажем, что   для всех  . Рассмотрим вектор  . Заметим, что  , и, таким образом,   . Поскольку  , то  . Следовательно,

 .

Отсюда   и  .

Единственность  Править

Предположим, что   и   элементы   удовлетворяют  .

Это означает, что для всех   справедливо равенство  , в частности  , откуда и получается равенство  .

Равенство нормПравить

Для доказательства   сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем:  . Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем:   Кроме того,  , откуда  . Объединяя два неравенства, получаем  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить