Открыть главное меню

Теорема Рэлея о точке перегиба

Теорема Рэлея — утверждение в гидродинамике, согласно которому для плоскопараллельного течения для развития неустойчивости необходимым условием является наличие точки перегиба профиля течения. Теорема получена Рэлеем в приближении идеальной жидкости.

Основное утверждение теоремы очевидным образом противоречит экспериментальным фактам. В частности, в течении Пуазёйля реализуется параболический профиль скорости, не обладающий точками перегиба, однако неустойчивость такого течения также возможна.

ДоказательствоПравить

Рассмотрение возмущений стационарного плоскопараллельного (в координатах  ) течения вязкой жидкости в предположении, что они имеют вид  , в линейном приближении приводит к уравнению Орра — Зоммерфельда. Пренебрежение вязкостью ( ) даёт уравнение Рэлея:

 
 

где   — амплитуда, комплексный инкремент и волновое число возмущения, соответственно;   — профиль скорости плоскопараллельного течения;   — оператор Лапласа для нормальных возмущений. По сравнению с исходным уравнением четвёртого порядка, здесь порядок задачи понизился до второго, что требует корректировки граничных условий. Для канала с твёрдыми стенками условие прилипания, очевидно, заменяется на условие непротекания:

 .

Поделим уравнение на  , домножим на комплексно-сопряженную амплитуду возмущения   и проинтегрируем по ширине канала:

 

Преобразование левой части (с учётом граничных условий для уравнения Рэлея)

 

показывает, что она является знакоопределенным и вещественным выражением. Следовательно, справа мнимая часть выражения должна быть равна нулю. Выделим её:

 

Принимая во внимание  , получим:

 

Здесь есть две возможности. Во-первых,  , отвечающее нейтральным возмущениям. Однако, это никакой информации об устойчивости не несёт, поскольку амплитуда такого возмущения не изменяется со временем. Потому примем, что равен нулю интеграл. Однако, в подынтегральном выражении все величины, кроме  , положительны. Для выполнения равенства требуется смена знака   внутри канала, следовательно, существует как минимум одна точка перегиба, где  .

ПрименимостьПравить

Очевидно, теорема Рэлея справедлива далеко не всегда. В первую очередь, существенным может оказаться влияние вязкого слагаемого даже при больших числах Рейнольдса, ввиду большого значения четвёртой производной.

Тем не менее, утверждение теоремы является весьма общим. Экспериментальные и численные исследования показывают, что, хотя и в отсутствие точки перегиба неустойчивость возможна, абсолютно устойчивых течений с точками перегиба не обнаружено.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Из-во иностранной литературы, 1958.