Теорема Стюарта

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Рис. 1

Она утверждает, что если точка лежит на стороне треугольника , то

где , и (рис. 1). Отрезок AD называется чевианой треугольника ABC.

ДоказательстваПравить

Через произведение векторовПравить

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения[1]. Представим вектор   длина которого искома, двумя способами:

 

Первое уравнение домножим на длину  , а второе — на  

 
 

Теперь сложим полученные уравнения:

 

где   так как   и   имеют равные длины и противоположны. Следовательно, сам вектор   равен

 

Его длину можно получить с помощью скалярного произведения вектора   на самого себя:

 

Далее, чтобы выразить   через длины, нужно найти  

 
 
 

Отсюда окончательно получается, что

 

 

Через теорему косинусовПравить

Выразим AB и AC через остальные стороны треугольников ABC и ACD и через углы   и   смежные друг другу:

 
 

Умножим первое уравнение на  , а второе — на  

 

Чтобы избавиться от косинуса угла ABD, сложим эти равенства:

 
 
 

 

ИсторияПравить

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

ПрименениеПравить

ОбобщениеПравить

  • Теорема Стюарта обобщается до равенства Бретшнайдера для четырёхугольника: если одна вершина четырёхугольника попадает на сторону четырёхугольника, то из теоремы Бретшнайдера следует теорема Стюарта.

ПримечанияПравить

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 30—31. — 288 с.

ЛитератураПравить

  • Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр. 53.
  • В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр. 302—303.
  • Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0.