Теорема Титце о продолжении

Теорема Титце о продолжении (или Теорема Титце — Урысона) даёт достаточные условия на функцию, заданную на подмножестве пространства и допускающую непрерывное продолжение на всё пространство.

Формулировка

править

Пусть  нормальное пространство и

 

непрерывная вещественнозначная функция, заданная на замкнутом подмножестве  . Тогда существует непрерывная функция

 ,

такая, что   для всех  .

Более того, если   ограничена, то функция   может быть выбрана также ограниченной той же константой.

История

править

Вариации и обобщения

править
  • Если  метрическое пространство, тогда липшицева функция, определённая на произвольном подмножестве  , продолжается до липшицевой функции на всё пространство, с той же константой Липшица.

См. также

править

Ссылки

править
  1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Urysohn-Brouwer lemma", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  2. Urysohn, Paul (1925), "Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen", Mathematische Annalen, 94 (1): 262—295, doi:10.1007/BF01208659.