Открыть главное меню

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если  — степень двойки, то -мерное проективное пространство невозможно вложить в -мерное евклидово пространство.

Схема доказательстваПравить

Случаи   и   устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая   используется факт, что гладкое отображение общего положения   является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.

Избавиться от этих точек самопересечени можно, несколько раз применив трюк Уитни. Он состоит в следующем. Возьмем точки   самопересечения отображения  , имеющие разные знаки. Возьмем точки  , для которых   и  . Соединим   и   гладкой кривой  . Соединим   и   гладкой кривой  . Тогда   есть замкнутая кривая в  . Далее построим отображение   с границей  . В общем положении,   является вложением и   (как раз здесь используется то, что  ). Тогда можно изотопировать   в маленькой окрестности диска   так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для   (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению). Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова [1].

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения  . Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку   самопересечения отображения  . Возьмем точки  , для которых  . Соединим   и   гладкой кривой  . Тогда   есть замкнутая кривая в  . Далее построим отображение   с границей  . В общем положении,   является вложением и   (как раз здесь используется то, что  ). Теперь можно изотопировать   в маленькой окрестности диска   так, чтобы эта точка самопересечения исчезла. См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона [2] и параграфе 8 обзора Скопенкова [3]. Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории. В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).

Вариации и обобщенияПравить

Пусть   есть гладкое  -мерное многообразие,  .

  • Если   не является степенью двойки, тогда существует вложение   в  
  •   может быть погружено в  
    • Более того   может быть погружено в  , где   есть число единиц в двоичном представлении  .
      • Последний результат оптимален, для любого   можно построить  -мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в  .

См. также [4] [5]

ПримечанияПравить

  1. В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий
  2. C.P. Rourke, B.J. Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972.
  3. Skopenkov, A. (1999), "New Results on embedding of polyhedra and manifolds in Euclidean spaces", Russian Math. Surveys Т. 54 (6): 1149-1196 
  4. Skopenkov, A. (2008), "Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces", in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. Т. 347 (2): 248—342, ISBN 13, <http://arxiv.org/abs/math/0604045> 
  5. Классификация вложений (англ.)