Теорема Ферма — Эйлера

Теорема Ферма — Эйлера (другие названия — рождественская теорема Ферма, теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов) гласит[1]:

Любое простое число , где  — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Иначе говоря,

где  — простое число.

В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.

Примеры:

, , , , , .

Из этого утверждения при помощи тождества Брахмагупты выводится общее утверждение:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов (целых чисел) тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.

Иногда именно этот факт подразумевается под теоремой Ферма — Эйлера.

ИсторияПравить

Впервые это утверждение обнаружено у Альбера Жирара в 1632 году. Пьер Ферма объявил в своём письме к Мерсенну (1640), что он доказал данную теорему, однако доказательство не привёл. Через 20 лет в письме к Каркави (от августа 1659 года) Ферма намекает, что доказательство основывается на методе бесконечного спуска.

Первое опубликованное доказательство методом бесконечного спуска было найдено Леонардом Эйлером между 1742 и 1747 годами. Позднее доказательства, основанные на иных идеях, дали Жозеф Лагранж, Карл Гаусс, Герман Минковский, Якобшталь и Дон Цагир. Последним приведено доказательство, состоящее из одного предложения[2].

ДоказательстваПравить

Одно из самых коротких доказательств придумано немецким математиком Доном Цагиром[3]:

Инволюция конечного множества  , определённая как

 

имеет ровно одну неподвижную точку (которая равна  , если  , и единственность которой следует из простоты  ), так что   содержит нечётное количество элементов, а значит, инволюция   также имеет неподвижную точку.

Также существует доказательство через теорему Вильсона, придуманное Акселем Туэ[4].

ЛитератураПравить

  • Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. — 375 с.
  • Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант, № 3 (1999), стр. 14—22.
  • Dickson L. E. History of the Theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Sum of two squares.

ПримечанияПравить

  1. Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа Архивная копия от 26 ноября 2019 на Wayback Machine // «Квант» Архивная копия от 11 февраля 2014 на Wayback Machine. — № 3 (1999), стр. 14—22.
  2. A One-Sentence Proof That Every Prime 4k+1 Is a Sum of Two Squares
  3. Краткое изложение доказательства Дона Цагира. Дата обращения: 13 мая 2011. Архивировано 4 марта 2016 года.
  4. Две теоремы Ферма. Дата обращения: 17 февраля 2020. Архивировано 26 июня 2019 года.