Теорема Фока — Крылова

Теорема Фока — Крылова утверждает, что закон распада квазистационарного состояния полностью определяется энергетическим спектром начального состояния.

Формулировка

Теорема Фока — Крылова определяет вероятность распада начального состояния квантовой системы следующим образом:

$L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\,dW(E)\right|^{2},$

где

$dW(E)=w(E)\,dE$ — спектр энергии начального состояния.

Доказательство

Пусть система описывается оператором ${\hat {H}}(x)$, который не зависит от времени. Тогда уравнение на собственные числа и собственные функции запишется следующем образом:

• для дискретного спектра:

  ${\hat {H}}(x)\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x),$

• для сплошного спектра:

  ${\hat {H}}(x)\psi (E,x)=E\psi (E,x).$

Пусть в момент времени $t=0$ система находится в состоянии $\psi (x,0)$, а в момент времени t она будет находиться в состоянии $\psi (x,t)$. Эволюция системы будет происходить согласно уравнению Шрёдингера:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\bar {H}}(x)\psi (x,t).$

Решение этого уравнения имеет вид

$\psi (x,t)=\sum _{n}C_{n}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t\right)\psi _{n}(x)+\int C(E)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\psi (E,x)\,dE.$

Коэффициенты $C_{n}$ и $C(E)$ определяются начальными условиями:

$C_{n}=\int \psi _{n}^{*}(x)\psi (0,x)\,dx,\qquad C(E)=\int \psi ^{*}(E,x)\psi (0,x)\,dx.$

Вероятность нахождения системы в начальном состоянии выражается следующим образом:

$L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \psi ^{*}(x,0)\psi (x,t)\,dx\right|^{2}=\left|\int \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)w(E)\,dE\right|^{2},$

где $w(E)=\sum _{n}|C_{n}|^{2}\delta (E-E_{n})+|C(E)|^{2}$ — спектр начального состояния.

Литература

• В. Фок. Начала квантовой механики. — Л. — С. 374. (недоступная ссылка)