Эпсилон-сеть

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества $M$ метрического пространства $X$ есть множество $Z$ из того же пространства $X$ такое, что для любой точки $x\in M$ найдётся точка $z\in Z$, удалённая от $x$ не более чем на ε.

Связанные определения

• Метрическое пространство, в котором для каждого $\varepsilon >0$ существует конечная $\varepsilon$-сеть, называется вполне ограниченным.

• Метрика $\rho$ на множестве $X$ называется вполне ограниченной, если $(X,\rho )$ — вполне ограниченное метрическое пространство.

• Семейство метрических пространств $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ таких, что для любого $\varepsilon >0$ есть натуральное число $N_{\varepsilon }$ такое, что каждое пространство $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ допускает $\varepsilon >0$-сеть из не более чем $N_{\varepsilon }$ точек называется универсально вполне ограниченной.
  • Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.

• Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры

• Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
• Множество целых чисел — ε-сеть для множества вещественных для $\varepsilon \geq 0{,}5$

Свойства

• Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
• Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества $M$ метрического пространства $X$ необходимо, а в случае полноты пространства $X$ и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon >0$ существовала конечная ε-сеть из элементов множества $M$.

Доказательство

Необходимость

Пусть множество $M$ (относительно) компактно. Зафиксируем $\varepsilon >0$ и рассмотрим любой элемент $x_{1}\in M$. Если $\rho (x,x_{1})<\varepsilon$ для любого $x\in M$, то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент $x_{2}\in M$ такой, что $\rho (x_{2},x_{1})\geqslant \varepsilon$. Имеются далее две возможности. Либо для любого $x\in M$ по крайней мере одно из чисел $\rho (x,x_{1})$ или $\rho (x,x_{2})$ меньше $\varepsilon$, и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент $x_{3}\in M$ такой, что $\rho (x_{3},x_{1})\geqslant \varepsilon$, $\rho (x_{3},x_{2})\geqslant \varepsilon$, и так далее. Покажем, что процесс построения точек $x_{1},x_{2},\ldots$ оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то получилась бы последовательность $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots$, для которой $\rho (x_{i},x_{j})\geqslant \varepsilon$ при $i\neq j$. Но тогда ни сама последовательность $\{x_{n}\},$ ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества $M$. Итак, для компактного множества $M$ мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.

Достаточность

Пусть при любом $\varepsilon >0$ существует ε-сеть для множества $M$. Возьмем числовую последовательность ${\mathcal {f}}\varepsilon _{n}{\mathcal {g}}$, где $\varepsilon _{n}\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$ и для каждого $n$ построим $\varepsilon _{n}$-сеть $N_{n}=\{z_{1}^{(n)},z_{2}^{(n)},\ldots ,z_{m_{n}}^{(n)}\}$. Рассмотрим произвольную последовательность $\{x_{n}\}\in M$. Так как $N_{1}$ есть $\varepsilon _{1}$-сеть для $M$, то, каков бы ни был элемент $x\in M$, будем иметь, что $\rho (x,z_{i}^{(1)})<\varepsilon _{1}$ для хотя бы одного элемента $z_{i}^{(1)}\in N_{1}$. Поэтому любой элемент $x\in M$ попадает хотя бы в один шар $S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1}),i=1,2,\ldots ,m_{1}$, то есть все множество $M$, а тем более вся последовательность $\{x_{n}\}$ разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность $\{x_{n}\}$ бесконечна, то найдется хотя бы один шар $S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1})$, который будет содержать бесконечную подпоследовательность $\{x_{n}^{(1)}\}$ нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для $N_{m},m=2,3,\ldots$. Составим диагональную подпоследовательность $x_{1}^{(1)},x_{2}^{(2)},\ldots ,x_{k}^{(k)},\ldots$. Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как $x_{k}^{(k)}$ и $x_{k+p}^{(k+p)}$ при $p>0$ входят в $k$-ю подпоследовательность, а $k$-я подпоследовательность содержится в шаре $S(z_{i}^{(k)},\varepsilon _{k})$, то $\rho (x_{k+p}^{(k+p)},x_{k}^{(k)})\leqslant \varepsilon _{k}\rightarrow 0$ при $k\rightarrow \infty$. По предположению, пространство $X$ полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности $\{x_{k}^{(k)}\}$ следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности $\{x_{n}\}$ сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества $M.$

• Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ в нём существует компактная ε-сеть.

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.