Открыть главное меню

Теорема Цермело — теорема теории множеств, утверждающая, что на всяком множестве можно ввести такое отношение порядка, что множество будет вполне упорядоченным. Одна из важнейших теорем в теории множеств. Названа в честь немецкого математика Эрнста Цермело. Теорема Цермело эквивалентна аксиоме выбора, а следовательно, и лемме Цорна.

ИсторияПравить

Георг Кантор считал, что утверждение этой теоремы является «фундаментальным принципом мысли».[1] Действительно, любое счётное множество можно тривиально вполне упорядочить, например, перенеся порядок с множества натуральных чисел. Однако большинству математиков трудно представить себе полный порядок уже, например, множества   действительных чисел. В 1904 году Дьюла Кёниг[en] сообщил, что доказал, что такого упорядочения не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве.[2] Однако вскорости Эрнст Цермело опубликовал свою известнейшую работу,[3] в которой доказал, что любое множество можно вполне упорядочить. Его доказательство опиралось на впервые сформулированную в этой же работе аксиому выбора. Вызванная этим фактом дискуссия побудила Цермело впоследствии вплотную заняться аксиоматизацией теории множеств, что привело к созданию аксиоматики Цермело — Френкеля.

ДоказательствоПравить

Доказательство см. в статье Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Верещагин Н. Шень А. Начала теории множеств. — 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-0012-4.

ПримечанияПравить

  1. Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, Mathematische Annalen 21, стр. 545–591.
  2. Plotkin, J. M. (2005), "Introduction to "The Concept of Power in Set Theory"", Hausdorff on Ordered Sets, vol. 25, History of Mathematics, American Mathematical Society, с. 23–30, ISBN 9780821890516, <https://books.google.com/books?id=M_skkA3r-QAC&pg=PA23> 
  3. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Mathematische Annalen, 1904.