Теорема Чаплыгина

Теоре́ма Чаплы́гина — теорема существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит С. А. Чаплыгину (1919 г.). Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.

Формулировка теоремы

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием в точке $x=a$:

$y'=f(x,y),\quad x\in (a,b],$

(1.1)

$y(a)=y^{a}.$

(1.2)

Чтобы сформулировать теорему Чаплыгина для задачи (1.1—1.2), понадобится ряд определений.

Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции ${\underline {\omega }}(x)$ и ${\overline {\omega }}(x)$, принадлежащие $C^{1}[a,b]$, и такие, что

$1)\ {\underline {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),$

(2.1)

$2){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}'(x)<f(x,{\underline {\omega }}(x)),\\[.5ex]{\overline {\omega }}'(x)>f(x,{\overline {\omega }}(x)),\end{array}}\ \forall x\in [a,b].$

(2.2)

Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция $y(x)$, принадлежащая $C^{1}(a,b]\cap C[a,b]$ и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом $x\in (a,b]$ и начальному условию (1.2).

Теорема (Чаплыгина). Пусть существуют такие нижнее ${\underline {\omega }}(x)$ и верхнее ${\overline {\omega }}(x)$ решения задачи (1.1—1.2), что

$\ f(x,y)\in C({\mathfrak {B}}),$

(3.1)

где ${\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\underline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]$. Тогда на отрезке $[a,b]$ существует по крайней мере одно классическое решение $y(x)$ задачи (1.1—1.2), и для каждого решения этой задачи и любого $x\in [a,b]$ справедливо:

${\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).$

(3.2)

См. также

• Теорема Нагумо

Литература

• Боголюбов А. Н.  Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
• Комленко Ю. В.  Теорема Чаплыгина для линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Матем. заметки, 1967, 2, № 3. — С. 301—306.
• Мышкис А. Д.  И. М. Виноградов. Чаплыгина теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. Т. 5. — М.: Сов. энциклопедия, 1985.