Открыть главное меню
Teorema chevy.png

Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Содержание

ФормулировкаПравить

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы   треугольника   проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

 

ЗамечанияПравить

Эта теорема аффинная, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.

Вариации и обобщенияПравить

 
Теорема Чева для точек, лежащих на продолжениях сторон. Чевианы и их основания обозначены зелёным цветом, а точка их пересечения — голубым.
  • Эту теорему можно обобщить на случай когда точки   лежат на продолжениях сторон  . Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков   и   и обозначается  
    • Пусть   лежат на прямых   треугольника  . Прямые   конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда:
 
  • Тригонометрическая теорема Чевы:
     
При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть   есть угол, на который надо повернуть прямую   против часовой стрелки, чтоб получить прямую  .

О доказательствахПравить

Наиболее прямое доказательство получается многократным применением теоремы Фалеса. Известны доказательства

Сам Чева привёл доказательство с помощью центров масс, а также ещё два геометрических доказательства.

ЛитератураПравить