Теорема Чевы

Teorema chevy.png

Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

ФормулировкаПравить

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы   треугольника   проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

 

ЗамечанияПравить

Эта теорема аффинная, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.

Вариации и обобщенияПравить

 
Теорема Чевы для точек, лежащих на продолжениях сторон. Чевианы и их основания обозначены зелёным цветом, а точка их пересечения — голубым.
  • Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки   лежат на продолжениях сторон  . Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков   и   и обозначается  
    • Пусть   лежат на прямых   треугольника  . Прямые   конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда:  
  • Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда ее называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечетное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в [1])
  • Тригонометрическая теорема Чевы:
     
При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть   есть угол, на который надо повернуть прямую   против часовой стрелки, чтоб получить прямую  .

ДоказательствоПравить

Известны доказательства

Сам Чева привёл доказательство с помощью центров масс, а также ещё два геометрических доказательства.


Доказательство через теорему Менелая:

По теореме Менелая для направленных отрезков

 

 , при делении получаем  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. 2-е изд. М.: Учпедгиз, 1962. 153 с.